Номер 3.212, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.212. Запишите уравнение касательной к графику функции $y = 8x^3 - 1$ в точке пересечения этого графика с осью абсцисс.

Для нахождения уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$, используется формула:$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

1. Найдём точку касания.По условию, касание происходит в точке пересечения графика функции с осью абсцисс (осью Ox). В любой точке на оси абсцисс координата $y$ равна нулю. Поэтому, чтобы найти абсциссу точки касания $x_0$, приравняем функцию к нулю:$8x^3 - 1 = 0$

Решим это уравнение:$8x^3 = 1$
$x^3 = \frac{1}{8}$
$x_0 = \sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка касания имеет абсциссу $x_0 = \frac{1}{2}$. Значение функции в этой точке $f(x_0) = 0$.

2. Найдём производную функции.Найдём производную функции $f(x) = 8x^3 - 1$:$f'(x) = (8x^3 - 1)' = 8 \cdot (x^3)' - (1)' = 8 \cdot 3x^2 - 0 = 24x^2$

3. Вычислим значение производной в точке касания.Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной. Подставим $x_0 = \frac{1}{2}$ в выражение для производной:$f'(\frac{1}{2}) = 24 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6$

4. Составим уравнение касательной.Теперь у нас есть все необходимые данные: $x_0 = \frac{1}{2}$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 6$. Подставим их в общую формулу уравнения касательной:$y = 0 + 6 \cdot (x - \frac{1}{2})$
$y = 6x - 6 \cdot \frac{1}{2}$
$y = 6x - 3$

Ответ: $y = 6x - 3$