Номер 3.218, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.218. В геометрической прогрессии $(b_n)$ найдите $b_5 + b_1$, если $q = 0,25$, $b_3 = 2$.

По условию задачи нам дана геометрическая прогрессия $(b_n)$ со знаменателем $q = 0,25$ и третьим членом $b_3 = 2$. Необходимо найти сумму $b_5 + b_1$.

Формула n-го члена геометрической прогрессии имеет вид: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель. Также можно выразить один член прогрессии через другой: $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$.

1. Найдем первый член прогрессии $b_1$.

Воспользуемся формулой $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$ для $n=3$:

$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$

Подставим известные значения $b_3 = 2$ и $q = 0,25$ (что равно $\frac{1}{4}$):

$2 = b_1 \cdot (0,25)^2$

$2 = b_1 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$2 = b_1 \cdot \frac{1}{16}$

Отсюда находим $b_1$:

$b_1 = 2 \cdot 16 = 32$

2. Найдем пятый член прогрессии $b_5$.

Для нахождения $b_5$ удобнее использовать известный член $b_3$ и формулу $b_n = b_k \cdot q^{n-k}$:

$b_5 = b_3 \cdot q^{5-3} = b_3 \cdot q^2$

Подставим известные значения:

$b_5 = 2 \cdot (0,25)^2 = 2 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 2 \cdot \frac{1}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

3. Вычислим сумму $b_5 + b_1$.

Теперь, зная значения $b_1$ и $b_5$, мы можем найти их сумму:

$b_5 + b_1 = \frac{1}{8} + 32$

Для сложения представим $32$ как дробь со знаменателем $8$:

$32 = \frac{32 \cdot 8}{8} = \frac{256}{8}$

$b_5 + b_1 = \frac{1}{8} + \frac{256}{8} = \frac{1+256}{8} = \frac{257}{8}$

Переведем полученную дробь в десятичный вид:

$\frac{257}{8} = 32,125$

Ответ: $32,125$