Номер 3.215, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.215. Воспользуйтесь методом замены переменной и решите уравнение

$\sqrt{5x - 3} + 2\sqrt[4]{5x - 3} - 8 = 0.$

Исходное уравнение: $\sqrt{5x - 3} + 2\sqrt[4]{5x - 3} - 8 = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $5x - 3 \ge 0$, откуда следует $5x \ge 3$, то есть $x \ge \frac{3}{5}$.

Для решения уравнения воспользуемся методом замены переменной. Заметим, что $\sqrt{5x - 3}$ можно представить в виде $(\sqrt[4]{5x - 3})^2$.
Пусть $t = \sqrt[4]{5x - 3}$. Так как корень четной степени является арифметическим, должно выполняться условие $t \ge 0$.

После замены исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:

$t^2 + 2t - 8 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-8$. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.

Теперь нужно проверить найденные значения $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.

• Корень $t_1 = -4$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому он является посторонним.
• Корень $t_2 = 2$ удовлетворяет условию $t \ge 0$.

Таким образом, у нас есть одно подходящее значение $t=2$. Выполним обратную замену, чтобы найти $x$:

$\sqrt[4]{5x - 3} = 2$.

Чтобы избавиться от радикала, возведем обе части уравнения в четвертую степень:

$(\sqrt[4]{5x - 3})^4 = 2^4$

$5x - 3 = 16$

$5x = 16 + 3$

$5x = 19$

$x = \frac{19}{5}$

$x = 3.8$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень ОДЗ ($x \ge \frac{3}{5}$). Так как $3.8 > 0.6$, корень подходит.

Ответ: $3.8$.