Номер 3.224, страница 147 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.224. Найдите область определения функции:

a) $y = \sqrt{x^3 - 1}$;

б) $y = \sqrt{1 - 2^x}$;

в) $y = \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{5 - x}$.

а) Область определения функции $y = \sqrt{x^3 - 1}$ задается условием, что выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным. Таким образом, необходимо решить неравенство:

$x^3 - 1 \ge 0$

Перенесем 1 в правую часть неравенства:

$x^3 \ge 1$

Извлекая кубический корень из обеих частей (так как функция $f(t) = \sqrt[3]{t}$ является возрастающей, знак неравенства сохраняется), получаем:

$x \ge 1$

Следовательно, область определения функции — это числовой промежуток $[1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = [1; +\infty)$.

б) Для функции $y = \sqrt{1 - 2^x}$ область определения также находится из условия неотрицательности подкоренного выражения:

$1 - 2^x \ge 0$

Перенесем $2^x$ в правую часть:

$1 \ge 2^x$

Представим число 1 в виде степени с основанием 2: $1 = 2^0$.

$2^0 \ge 2^x$

Так как основание степени $2 > 1$, показательная функция $f(t) = 2^t$ является возрастающей. Поэтому при сравнении показателей знак неравенства сохраняется:

$0 \ge x$

или, что то же самое:

$x \le 0$

Следовательно, область определения функции — это числовой промежуток $(-\infty; 0]$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0]$.

в) Функция $y = \sqrt{x^2 - 4} + \sqrt{5 - x}$ определена тогда, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Это приводит к системе неравенств:

$\begin{cases} x^2 - 4 \ge 0, \\ 5 - x \ge 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 4 \ge 0$.

Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x - 2)(x + 2) \ge 0$.

Корнями уравнения $(x - 2)(x + 2) = 0$ являются $x_1 = -2$ и $x_2 = 2$. Графиком функции $f(x) = x^2 - 4$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции неотрицательны вне интервала между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$.

Решим второе неравенство: $5 - x \ge 0$.

Перенесем $x$ в правую часть: $5 \ge x$, или $x \le 5$.

Решение второго неравенства: $x \in (-\infty; 5]$.

Область определения исходной функции является пересечением решений этих двух неравенств. Найдем пересечение множеств $(-\infty; -2] \cup [2; +\infty)$ и $(-\infty; 5]$.

Пересечение состоит из двух интервалов:

1. $(-\infty; -2] \cap (-\infty; 5] = (-\infty; -2]$

2. $[2; +\infty) \cap (-\infty; 5] = [2; 5]$

Объединяя эти два интервала, получаем итоговую область определения.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -2] \cup [2; 5]$.