Номер вопрос 1, страница 156 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

1. Неравенство $\log_4 (x - 2) < \log_4 (2x + 4)$ равносильно системе:

a) $\begin{cases} x - 2 < 2x + 4, \\ 2x + 4 > 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x - 2 > 2x + 4, \\ 2x + 4 > 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x - 2 < 2x + 4, \\ x - 2 > 0. \end{cases}$

Выберите правильный ответ.

Для решения логарифмического неравенства вида $\log_a f(x) < \log_a g(x)$ необходимо учитывать два основных момента: область допустимых значений (ОДЗ) и монотонность логарифмической функции.

Исходное неравенство: $\log_4 (x - 2) < \log_4 (2x + 4)$.

1. Область допустимых значений (ОДЗ): аргументы логарифмов должны быть строго положительными. Это приводит к системе из двух неравенств:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\2x + 4 > 0 \end{cases}$

2. Монотонность функции: основание логарифма равно 4, что больше 1 ($a=4>1$). Это означает, что логарифмическая функция $y = \log_4(t)$ является возрастающей. При переходе от неравенства логарифмов к неравенству их аргументов знак неравенства сохраняется:

$x - 2 < 2x + 4$

Объединяя все эти условия, получаем систему, равносильную исходному неравенству:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\2x + 4 > 0 \\x - 2 < 2x + 4\end{cases}$

Теперь упростим эту систему. Заметим, что из неравенств $x - 2 > 0$ и $x - 2 < 2x + 4$ следует, что $2x + 4 > x - 2 > 0$. Таким образом, если выполняется условие $x - 2 > 0$, то условие $2x + 4 > 0$ выполняется автоматически, и его можно опустить как избыточное. Проверим это:

Из $x-2>0$ следует $x>2$.

Если $x>2$, то $2x>4$, и $2x+4 > 4+4=8$. Так как $8>0$, то условие $2x+4>0$ действительно выполняется.

Следовательно, исходное неравенство равносильно более простой системе:

$\begin{cases} x - 2 < 2x + 4 \\x - 2 > 0\end{cases}$

Теперь сравним полученную систему с предложенными вариантами ответа:

а) Система $\begin{cases} x-2 < 2x+4, \\ 2x+4 > 0; \end{cases}$ неверна. В ней отсутствует обязательное условие $x-2>0$, которое гарантирует, что левая часть исходного неравенства имеет смысл.

б) Система $\begin{cases} x-2 > 2x+4, \\ 2x+4 > 0; \end{cases}$ неверна. Знак неравенства для аргументов изменен на противоположный. Это было бы правильно, если бы основание логарифма было в интервале $(0, 1)$.

в) Система $\begin{cases} x-2 < 2x+4, \\ x-2 > 0. \end{cases}$ полностью совпадает с системой, которую мы получили. Она правильно учитывает и свойство возрастающей логарифмической функции, и необходимое и достаточное условие из ОДЗ.

Следовательно, правильный ответ — в).

Ответ: в)