Номер 3.207, страница 146 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.207. Решите уравнение:

a) $4^x \cdot 5^{x+1} = 5 \cdot 20^{2-x};$

б) $2 \cdot 3^{x+1} - 5 \cdot 3^{x-1} = 117;$

в) $4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 24 = 0.$

а) $4^x \cdot 5^{x+1} = 5 \cdot 20^{2-x}$

Приведем все степени к простым основаниям 2 и 5. Мы знаем, что $4 = 2^2$ и $20 = 4 \cdot 5 = 2^2 \cdot 5$.

Подставим эти значения в исходное уравнение:

$(2^2)^x \cdot 5^{x+1} = 5 \cdot (2^2 \cdot 5)^{2-x}$

Используя свойства степеней $(a^m)^n = a^{mn}$ и $(ab)^n = a^n b^n$, упростим уравнение:

$2^{2x} \cdot 5^{x+1} = 5^1 \cdot (2^2)^{2-x} \cdot 5^{2-x}$

$2^{2x} \cdot 5^{x+1} = 5^1 \cdot 2^{4-2x} \cdot 5^{2-x}$

Сгруппируем степени с одинаковым основанием в правой части, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$2^{2x} \cdot 5^{x+1} = 2^{4-2x} \cdot 5^{1 + (2-x)}$

$2^{2x} \cdot 5^{x+1} = 2^{4-2x} \cdot 5^{3-x}$

Теперь разделим обе части уравнения на $2^{4-2x}$ и на $5^{x+1}$ (так как показательные функции не равны нулю), чтобы сгруппировать степени с одинаковым основанием:

$\frac{2^{2x}}{2^{4-2x}} = \frac{5^{3-x}}{5^{x+1}}$

Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$2^{2x - (4-2x)} = 5^{(3-x) - (x+1)}$

$2^{2x - 4 + 2x} = 5^{3 - x - x - 1}$

$2^{4x - 4} = 5^{2 - 2x}$

Вынесем общие множители в показателях степеней:

$2^{4(x-1)} = 5^{-2(x-1)}$

Перепишем уравнение, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$:

$(2^4)^{x-1} = (5^{-2})^{x-1}$

$16^{x-1} = (\frac{1}{25})^{x-1}$

Поскольку основания $16$ и $\frac{1}{25}$ различны, равенство возможно только в том случае, если показатель степени равен нулю.

$x - 1 = 0$

$x = 1$

Проверка: подставим $x=1$ в исходное уравнение. Левая часть: $4^1 \cdot 5^{1+1} = 4 \cdot 5^2 = 4 \cdot 25 = 100$. Правая часть: $5 \cdot 20^{2-1} = 5 \cdot 20^1 = 100$. $100 = 100$. Решение верно.

Ответ: $1$

б) $2 \cdot 3^{x+1} - 5 \cdot 3^{x-1} = 117$

Преобразуем уравнение так, чтобы все степени имели одинаковый показатель. Выразим $3^{x+1}$ через $3^{x-1}$:

$3^{x+1} = 3^{(x-1)+2} = 3^{x-1} \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^{x-1}$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2 \cdot (9 \cdot 3^{x-1}) - 5 \cdot 3^{x-1} = 117$

$18 \cdot 3^{x-1} - 5 \cdot 3^{x-1} = 117$

Вынесем общий множитель $3^{x-1}$ за скобки:

$(18 - 5) \cdot 3^{x-1} = 117$

$13 \cdot 3^{x-1} = 117$

Разделим обе части на 13:

$3^{x-1} = \frac{117}{13}$

$3^{x-1} = 9$

Представим 9 как степень числа 3:

$3^{x-1} = 3^2$

Приравнивая показатели степеней, получаем:

$x - 1 = 2$

$x = 3$

Проверка: $2 \cdot 3^{3+1} - 5 \cdot 3^{3-1} = 2 \cdot 3^4 - 5 \cdot 3^2 = 2 \cdot 81 - 5 \cdot 9 = 162 - 45 = 117$. $117 = 117$. Решение верно.

Ответ: $3$

в) $4^x - 10 \cdot 2^{x-1} - 24 = 0$

Представим члены уравнения через степень с основанием 2:

$4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2$

$2^{x-1} = 2^x \cdot 2^{-1} = \frac{1}{2} \cdot 2^x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(2^x)^2 - 10 \cdot (\frac{1}{2} \cdot 2^x) - 24 = 0$

$(2^x)^2 - 5 \cdot 2^x - 24 = 0$

Это уравнение является квадратным относительно $2^x$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 5t - 24 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта. $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(-24) = 25 + 96 = 121 = 11^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-(-5) + 11}{2 \cdot 1} = \frac{16}{2} = 8$

$t_2 = \frac{-(-5) - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3$

Теперь вернемся к замене, учитывая условие $t > 0$.

Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Рассмотрим корень $t_1 = 8$:

$2^x = 8$

Представим 8 как степень числа 2:

$2^x = 2^3$

Отсюда следует, что $x=3$.

Проверка: $4^3 - 10 \cdot 2^{3-1} - 24 = 64 - 10 \cdot 2^2 - 24 = 64 - 10 \cdot 4 - 24 = 64 - 40 - 24 = 0$. $0=0$. Решение верно.

Ответ: $3$