Номер 3.187, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.187. Решите графически уравнение $\log_{\frac{1}{4}} x = x - 5$.

Чтобы решить уравнение $\log_{\frac{1}{4}} x = x - 5$ графически, необходимо построить в одной системе координат графики двух функций: $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ и $y = x - 5$. Абсцисса точки (или точек) их пересечения и будет являться решением исходного уравнения.

Построение графика функции $y = \log_{\frac{1}{4}} x$

Это логарифмическая функция с основанием $a = \frac{1}{4}$. Так как основание $0 < a < 1$, функция является монотонно убывающей на всей своей области определения.

Область определения функции: $x > 0$.

График имеет вертикальную асимптоту $x=0$.

Для построения графика найдем несколько ключевых точек:

• Если $x = \frac{1}{4}$, то $y = \log_{\frac{1}{4}} (\frac{1}{4}) = 1$. Получаем точку $(\frac{1}{4}; 1)$.
• Если $x = 1$, то $y = \log_{\frac{1}{4}} (1) = 0$. Получаем точку $(1; 0)$.
• Если $x = 4$, то $y = \log_{\frac{1}{4}} (4) = \log_{4^{-1}}(4^1) = -1$. Получаем точку $(4; -1)$.

Построение графика функции $y = x - 5$

Это линейная функция, её график — прямая. Функция является монотонно возрастающей. Для построения прямой достаточно найти координаты двух точек.

• Если $x = 5$, то $y = 5 - 5 = 0$. Получаем точку $(5; 0)$.
• Если $x = 4$, то $y = 4 - 5 = -1$. Получаем точку $(4; -1)$.

Нахождение решения

Построим графики функций $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ и $y = x - 5$ в одной декартовой системе координат. График логарифмической функции — это убывающая кривая, а график линейной функции — возрастающая прямая. Из построенных графиков видно, что они пересекаются в одной точке.

Из вычислений, проведенных выше для нахождения точек, видно, что оба графика проходят через точку с координатами $(4; -1)$. Следовательно, $x=4$ является абсциссой точки пересечения.

Выполним проверку, подставив $x=4$ в исходное уравнение:

$\log_{\frac{1}{4}} 4 = 4 - 5$

$-1 = -1$

Равенство получилось верным, значит, $x=4$ действительно является корнем уравнения.

Так как функция $y = \log_{\frac{1}{4}} x$ является монотонно убывающей на всей области определения $(0; +\infty)$, а функция $y = x - 5$ является монотонно возрастающей, то их графики могут иметь не более одной точки пересечения. Таким образом, корень $x=4$ — единственный.

Ответ: $4$.