Номер 3.185, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.185. Решите уравнение, используя определение логарифма:

а) $\log_{4x-8} (x^2 - 2x - 3) = 1;$

б) $\log_{2x} (x^2 - 5x + 6) = 1.$

а) $ \log_{4x-8} (x^2 - 2x - 3) = 1 $

По определению логарифма $ \log_b a = c $ равносильно уравнению $ a = b^c $. При этом должны выполняться условия области допустимых значений (ОДЗ): основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице ($ b > 0, b \neq 1 $), а аргумент логарифма должен быть строго больше нуля ($ a > 0 $).

Составим систему условий (ОДЗ) для данного уравнения:

$ \begin{cases} x^2 - 2x - 3 > 0 \\ 4x - 8 > 0 \\ 4x - 8 \neq 1 \end{cases} $

Решим каждое неравенство системы:

1) $ 4x - 8 > 0 \implies 4x > 8 \implies x > 2 $.

2) $ 4x - 8 \neq 1 \implies 4x \neq 9 \implies x \neq \frac{9}{4} $, то есть $ x \neq 2.25 $.

3) $ x^2 - 2x - 3 > 0 $. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $ x^2 - 2x - 3 = 0 $. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3, следовательно, корни $ x_1 = 3 $ и $ x_2 = -1 $. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $ x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty) $.

Пересекая все три условия ($ x > 2 $, $ x \neq 2.25 $ и $ x \in (-\infty, -1) \cup (3, \infty) $), получаем итоговую ОДЗ: $ x \in (3, \infty) $.

Теперь решим само уравнение, используя определение логарифма:

$ x^2 - 2x - 3 = (4x - 8)^1 $

$ x^2 - 2x - 3 = 4x - 8 $

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$ x^2 - 2x - 4x - 3 + 8 = 0 $

$ x^2 - 6x + 5 = 0 $

По теореме Виета, корни этого квадратного уравнения: $ x_1 = 1, x_2 = 5 $.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($ x > 3 $):

Корень $ x_1 = 1 $ не удовлетворяет условию $ 1 > 3 $, следовательно, это посторонний корень.

Корень $ x_2 = 5 $ удовлетворяет условию $ 5 > 3 $, следовательно, является решением уравнения.

Ответ: 5

б) $ \log_{2x} (x^2 - 5x + 6) = 1 $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ), исходя из свойств логарифма:

$ \begin{cases} x^2 - 5x + 6 > 0 \\ 2x > 0 \\ 2x \neq 1 \end{cases} $

Решим систему неравенств:

1) $ 2x > 0 \implies x > 0 $.

2) $ 2x \neq 1 \implies x \neq \frac{1}{2} $.

3) $ x^2 - 5x + 6 > 0 $. Найдем корни уравнения $ x^2 - 5x + 6 = 0 $. По теореме Виета, корни равны $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $. Это парабола с ветвями вверх, значит, неравенство выполняется на промежутках $ x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty) $.

Найдем пересечение всех условий: $ (x > 0) \cap (x \neq \frac{1}{2}) \cap (x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)) $. Получаем ОДЗ: $ x \in (0, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, 2) \cup (3, \infty) $.

Теперь решим уравнение, применив определение логарифма:

$ x^2 - 5x + 6 = (2x)^1 $

$ x^2 - 5x + 6 = 2x $

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$ x^2 - 7x + 6 = 0 $

По теореме Виета, корни этого уравнения: $ x_1 = 1, x_2 = 6 $.

Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ:

Корень $ x_1 = 1 $ принадлежит промежутку $ (\frac{1}{2}, 2) $, значит, он является решением.

Корень $ x_2 = 6 $ принадлежит промежутку $ (3, \infty) $, значит, он также является решением.

Ответ: 1; 6