Номер 3.184, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.184. Решите уравнение $\log_3 x - 2\log_x 3 + 1 = 0$, используя формулу

перехода от одного основания логарифма к другому.

Исходное уравнение: $log_3 x - 2log_x 3 + 1 = 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. В логарифме $log_a b$ аргумент $b$ должен быть строго больше нуля, а основание $a$ должно быть строго больше нуля и не равно единице.

Из члена $log_3 x$ следует, что $x > 0$.
Из члена $log_x 3$ следует, что $x > 0$ и $x \neq 1$.
Объединив эти условия, получаем ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty)$.

Уравнение содержит логарифмы с разными основаниями ($3$ и $x$). Чтобы решить его, необходимо привести логарифмы к одному основанию. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $log_a b = \frac{log_c b}{log_c a}$. Приведем $log_x 3$ к основанию 3:

$log_x 3 = \frac{log_3 3}{log_3 x}$

Так как $log_3 3 = 1$, то выражение упрощается до:

$log_x 3 = \frac{1}{log_3 x}$

Теперь подставим это в исходное уравнение:

$log_3 x - 2 \cdot \frac{1}{log_3 x} + 1 = 0$

Для удобства решения введем замену. Пусть $t = log_3 x$. Так как $x \neq 1$ (из ОДЗ), то $t = log_3 x \neq log_3 1 = 0$.
Уравнение с новой переменной:

$t - \frac{2}{t} + 1 = 0$

Умножим обе части уравнения на $t$ (поскольку $t \neq 0$), чтобы избавиться от знаменателя:

$t^2 - 2 + t = 0$
$t^2 + t - 2 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Решим его. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Отсюда корни $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Либо можно найти корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$.
$t_1 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 3}{2} = 1$
$t_2 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 3}{2} = -2$

Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $t$.

1. Если $t = 1$, то $log_3 x = 1$. По определению логарифма, $x = 3^1 = 3$.

2. Если $t = -2$, то $log_3 x = -2$. По определению логарифма, $x = 3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.

Оба полученных корня, $x = 3$ и $x = \frac{1}{9}$, удовлетворяют области допустимых значений.

Ответ: $\frac{1}{9}; 3$.