Номер 3.182, страница 143 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.182. Решите уравнение:

a) $log_6(2x + 5) = 2log_6(x + 1)$;

б) $log_{\sqrt{3}}(x - 3) = log_3(x - 1)$;

в) $log_9(2x - 3) = log_3(x - 1)$.

а) $\log_6(2x + 5) = 2\log_6(x + 1)$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} 2x + 5 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > -5 \\ x > -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2.5 \\ x > -1 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > -1$.

Используем свойство логарифма $n \cdot \log_a(b) = \log_a(b^n)$ для правой части уравнения:
$\log_6(2x + 5) = \log_6((x + 1)^2)$

Так как основания логарифмов одинаковы, мы можем приравнять их аргументы:
$2x + 5 = (x + 1)^2$
$2x + 5 = x^2 + 2x + 1$
$x^2 = 4$
Отсюда получаем два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > -1$):
$x_1 = 2$ удовлетворяет условию $2 > -1$.
$x_2 = -2$ не удовлетворяет условию $-2 > -1$, следовательно, это посторонний корень.

Ответ: 2

б) $\log_{\sqrt{3}}(x - 3) = \log_3(x - 1)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 3 \\ x > 1 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > 3$.

Приведем логарифмы к одному основанию 3. Используем формулу $\log_{a^k}(b) = \frac{1}{k}\log_a(b)$.
Так как $\sqrt{3} = 3^{1/2}$, левая часть уравнения преобразуется:
$\log_{3^{1/2}}(x - 3) = \frac{1}{1/2}\log_3(x - 3) = 2\log_3(x - 3)$

Теперь уравнение имеет вид:
$2\log_3(x - 3) = \log_3(x - 1)$
$\log_3((x - 3)^2) = \log_3(x - 1)$

Приравниваем аргументы:
$(x - 3)^2 = x - 1$
$x^2 - 6x + 9 = x - 1$
$x^2 - 7x + 10 = 0$
Решаем квадратное уравнение. По теореме Виета корни: $x_1 = 2$, $x_2 = 5$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$):
$x_1 = 2$ не удовлетворяет условию $2 > 3$, это посторонний корень.
$x_2 = 5$ удовлетворяет условию $5 > 3$.

Ответ: 5

в) $\log_9(2x - 3) = \log_3(x - 1)$

Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} 2x - 3 > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > 3 \\ x > 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > 1.5 \\ x > 1 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ: $x > 1.5$.

Приведем логарифмы к основанию 3. Так как $9 = 3^2$, преобразуем левую часть:
$\log_9(2x - 3) = \log_{3^2}(2x - 3) = \frac{1}{2}\log_3(2x - 3)$

Уравнение принимает вид:
$\frac{1}{2}\log_3(2x - 3) = \log_3(x - 1)$
Умножим обе части на 2:
$\log_3(2x - 3) = 2\log_3(x - 1)$
$\log_3(2x - 3) = \log_3((x - 1)^2)$

Приравниваем аргументы:
$2x - 3 = (x - 1)^2$
$2x - 3 = x^2 - 2x + 1$
$x^2 - 4x + 4 = 0$
$(x - 2)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень: $x = 2$.

Проверим корень на соответствие ОДЗ ($x > 1.5$):
$x = 2$ удовлетворяет условию $2 > 1.5$.

Ответ: 2