Номер 3.190, страница 144 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.190. Решите систему уравнений:

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \log_3 x + \log_3 y = 1, \\ y - 3x = 8; \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмических функций: $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_3(xy) = 1$

По определению логарифма:

$xy = 3^1$

$xy = 3$

Теперь система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} xy = 3, \\ y - 3x = 8. \end{cases}$

Выразим $y$ из второго уравнения:

$y = 3x + 8$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x(3x + 8) = 3$

$3x^2 + 8x - 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$

$\sqrt{D} = 10$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-18}{6} = -3$

$x_2 = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).

Корень $x_1 = -3$ не удовлетворяет условию $x > 0$.

Корень $x_2 = \frac{1}{3}$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Найдем соответствующее значение $y$ для $x = \frac{1}{3}$:

$y = 3x + 8 = 3 \cdot \frac{1}{3} + 8 = 1 + 8 = 9$

Значение $y = 9$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(\frac{1}{3}; 9)$.

Ответ: $(\frac{1}{3}; 9)$

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \log_2 x + \log_2 y = 5, \\ x - 3y = -20. \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойство логарифмов:

$\log_2(xy) = 5$

По определению логарифма:

$xy = 2^5$

$xy = 32$

Теперь система уравнений выглядит так:

$\begin{cases} xy = 32, \\ x - 3y = -20. \end{cases}$

Выразим $x$ из второго уравнения:

$x = 3y - 20$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(3y - 20)y = 32$

$3y^2 - 20y - 32 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-32) = 400 + 384 = 784$

$\sqrt{D} = 28$

Найдем корни уравнения:

$y_1 = \frac{20 - 28}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

$y_2 = \frac{20 + 28}{2 \cdot 3} = \frac{48}{6} = 8$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y > 0$).

Корень $y_1 = -\frac{4}{3}$ не удовлетворяет условию $y > 0$.

Корень $y_2 = 8$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Найдем соответствующее значение $x$ для $y = 8$:

$x = 3y - 20 = 3 \cdot 8 - 20 = 24 - 20 = 4$

Значение $x = 4$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(4; 8)$.

Ответ: $(4; 8)$