Номер 3.160, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.160. Решите уравнение, используя свойства функций:

a) $\log_2 x = 11 - x$;

б) $\log_{\frac{1}{3}} x = \sqrt{x - 1}$;

в) $\log_4 x = \frac{4}{x}$.

а)

Данное уравнение $\log_2 x = 11 - x$ решается с помощью анализа свойств функций, стоящих в левой и правой частях.

Рассмотрим две функции: $f(x) = \log_2 x$ и $g(x) = 11 - x$.

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения определяется условием существования логарифма: $x > 0$.

1. Функция $f(x) = \log_2 x$ является логарифмической с основанием $2 > 1$. Такая функция является строго возрастающей на всей своей области определения $(0, +\infty)$.

2. Функция $g(x) = 11 - x$ является линейной с отрицательным угловым коэффициентом $k=-1$. Такая функция является строго убывающей на всей числовой оси.

Если на некотором промежутке одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, то уравнение, в котором эти функции приравниваются, может иметь не более одного корня на этом промежутке. В нашем случае это означает, что уравнение $\log_2 x = 11 - x$ имеет не более одного решения.

Найдем этот корень методом подбора. Удобно подбирать значения $x$, являющиеся степенями двойки.

Проверим $x = 8$.

Подставим в левую часть: $\log_2 8 = 3$.

Подставим в правую часть: $11 - 8 = 3$.

Поскольку левая и правая части равны ($3=3$), то $x=8$ является корнем уравнения. Так как мы доказали, что корень может быть только один, это и есть окончательное решение.

Ответ: 8

б)

Рассмотрим уравнение $\log_{\frac{1}{3}} x = \sqrt{x-1}$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Она определяется системой из двух условий:

1. Аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x > 0$.

2. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Пересечение этих условий дает ОДЗ: $x \ge 1$.

Рассмотрим функции в левой и правой частях уравнения на ОДЗ $x \in [1, +\infty)$.

1. Функция $f(x) = \log_{\frac{1}{3}} x$ является логарифмической с основанием $\frac{1}{3}$ ($0 < \frac{1}{3} < 1$). Такая функция является строго убывающей на всей своей области определения, и в том числе на промежутке $[1, +\infty)$.

2. Функция $g(x) = \sqrt{x-1}$ является строго возрастающей на своей области определения $[1, +\infty)$.

Так как на ОДЗ одна функция строго убывает, а другая строго возрастает, уравнение может иметь не более одного корня.

Найдем этот корень подбором. Проверим граничное значение ОДЗ, $x=1$.

Подставим в левую часть: $\log_{\frac{1}{3}} 1 = 0$.

Подставим в правую часть: $\sqrt{1-1} = \sqrt{0} = 0$.

Поскольку $0=0$, то $x=1$ является корнем уравнения. В силу единственности, это и есть решение.

Ответ: 1

в)

Рассмотрим уравнение $\log_4 x = \frac{4}{x}$.

ОДЗ уравнения определяется условиями: $x > 0$ (из логарифма) и $x \neq 0$ (из знаменателя дроби). Объединяя эти условия, получаем ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим функции на промежутке $(0, +\infty)$.

1. Функция $f(x) = \log_4 x$ является логарифмической с основанием $4 > 1$, следовательно, она строго возрастает на $(0, +\infty)$.

2. Функция $g(x) = \frac{4}{x}$ (обратная пропорциональность с положительным коэффициентом) является строго убывающей на промежутке $(0, +\infty)$.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает на ОДЗ, уравнение может иметь не более одного решения.

Найдем решение методом подбора. Удобно проверять значения $x$, являющиеся степенями числа 4.

Проверим $x = 4$.

Подставим в левую часть: $\log_4 4 = 1$.

Подставим в правую часть: $\frac{4}{4} = 1$.

Равенство $1=1$ верное, значит $x=4$ — корень уравнения. Так как корень единственный, это и есть решение.

Ответ: 4