Номер 3.153, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.153. Найдите все корни уравнения:

а) $ \log_2 x^3 + 8\log_2 \sqrt{x} = -21; $

б) $ \log_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = 14; $

в) $ \log_2 (x - 1)^3 - \log_{0,5} (x - 1) = 8. $

а) $ \log_2 x^3 + 8\log_2 \sqrt{x} = -21 $

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $ x > 0 $.

Используем свойства логарифма $ \log_a b^n = n \log_a b $ и представление корня в виде степени $ \sqrt{x} = x^{1/2} $. Преобразуем уравнение:

$ 3\log_2 x + 8\log_2 x^{1/2} = -21 $

$ 3\log_2 x + 8 \cdot \frac{1}{2}\log_2 x = -21 $

$ 3\log_2 x + 4\log_2 x = -21 $

Сложим коэффициенты при логарифме:

$ 7\log_2 x = -21 $

Разделим обе части уравнения на 7:

$ \log_2 x = -3 $

По определению логарифма, найдем $x$:

$ x = 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} $

Полученный корень $ x = 1/8 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 1/8 > 0 $).

Ответ: $ \frac{1}{8} $.

б) $ \log_8 x + \log_{\sqrt{2}} x = 14 $

ОДЗ: $ x > 0 $.

Для решения приведем логарифмы к одному основанию, например, к основанию 2. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию $ \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} $.

Преобразуем первый член:

$ \log_8 x = \frac{\log_2 x}{\log_2 8} = \frac{\log_2 x}{\log_2 2^3} = \frac{\log_2 x}{3} $

Преобразуем второй член:

$ \log_{\sqrt{2}} x = \frac{\log_2 x}{\log_2 \sqrt{2}} = \frac{\log_2 x}{\log_2 2^{1/2}} = \frac{\log_2 x}{1/2} = 2\log_2 x $

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$ \frac{1}{3}\log_2 x + 2\log_2 x = 14 $

Вынесем общий множитель $ \log_2 x $ за скобки:

$ \left(\frac{1}{3} + 2\right)\log_2 x = 14 $

$ \frac{7}{3}\log_2 x = 14 $

Найдем значение $ \log_2 x $:

$ \log_2 x = 14 \cdot \frac{3}{7} = 2 \cdot 3 = 6 $

Теперь найдем $x$:

$ x = 2^6 = 64 $

Корень $ x = 64 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 64 > 0 $).

Ответ: $ 64 $.

в) $ \log_2(x - 1)^3 - \log_{0.5}(x - 1) = 8 $

ОДЗ: $ x - 1 > 0 $, откуда $ x > 1 $.

На ОДЗ можно вынести степень из-под знака логарифма: $ \log_2(x - 1)^3 = 3\log_2(x - 1) $.

Преобразуем основание второго логарифма: $ 0.5 = \frac{1}{2} = 2^{-1} $. Используем свойство $ \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b $:

$ \log_{0.5}(x - 1) = \log_{2^{-1}}(x - 1) = \frac{1}{-1}\log_2(x - 1) = -\log_2(x - 1) $

Подставим преобразованные логарифмы в уравнение:

$ 3\log_2(x - 1) - (-\log_2(x - 1)) = 8 $

$ 3\log_2(x - 1) + \log_2(x - 1) = 8 $

Сложим подобные члены:

$ 4\log_2(x - 1) = 8 $

Разделим обе части на 4:

$ \log_2(x - 1) = 2 $

По определению логарифма:

$ x - 1 = 2^2 $

$ x - 1 = 4 $

$ x = 5 $

Корень $ x = 5 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 5 > 1 $).

Ответ: $ 5 $.