Номер 3.146, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.146. Найдите абсциссы точек пересечения графика функции:

a) $y = \log_{\frac{2}{3}} \frac{x+1}{2x-1}$ и прямой $y = 1$;

б) $y = \log_4 |6x-1|$ и прямой $y = 3$.

а)

Чтобы найти абсциссы точек пересечения, необходимо приравнять значения функций. В данном случае приравниваем $y = \log_{\frac{2}{3}} \frac{x+1}{2x-1}$ и $y = 1$.

$\log_{\frac{2}{3}} \frac{x+1}{2x-1} = 1$

Согласно определению логарифма, если $\log_a b = c$, то $a^c = b$. Применим это правило к нашему уравнению:

$\frac{x+1}{2x-1} = \left(\frac{2}{3}\right)^1$

$\frac{x+1}{2x-1} = \frac{2}{3}$

Решим полученное рациональное уравнение. Для этого воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение), учитывая, что знаменатель $2x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{2}$.

$3(x+1) = 2(2x-1)$

$3x + 3 = 4x - 2$

$3 + 2 = 4x - 3x$

$x = 5$

Необходимо также проверить, входит ли найденное значение в область определения логарифмической функции. Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$\frac{x+1}{2x-1} > 0$

Подставим найденный корень $x=5$ в это неравенство:

$\frac{5+1}{2(5)-1} = \frac{6}{10-1} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Так как $\frac{2}{3} > 0$, условие выполняется. Следовательно, $x=5$ является абсциссой точки пересечения.

Ответ: $5$.

б)

Приравняем правые части уравнений $y = \log_4 |6x-1|$ и $y = 3$, чтобы найти абсциссы точек их пересечения.

$\log_4 |6x-1| = 3$

Используя определение логарифма, перейдем к показательному уравнению:

$|6x-1| = 4^3$

$|6x-1| = 64$

Уравнение с модулем распадается на два случая:

1) Выражение под модулем равно $64$:

$6x - 1 = 64$

$6x = 64 + 1$

$6x = 65$

$x_1 = \frac{65}{6}$

2) Выражение под модулем равно $-64$:

$6x - 1 = -64$

$6x = -64 + 1$

$6x = -63$

$x_2 = -\frac{63}{6} = -\frac{21}{2}$

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни области определения функции. Аргумент логарифма $|6x-1|$ должен быть строго больше нуля. Это условие выполняется всегда, кроме случая, когда $6x-1=0$, то есть $x = \frac{1}{6}$.

Оба найденных значения, $x_1 = \frac{65}{6}$ и $x_2 = -\frac{21}{2}$, не равны $\frac{1}{6}$, поэтому оба являются решениями.

Ответ: $-\frac{21}{2}; \frac{65}{6}$.