Номер 3.141, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.141. Решите уравнение:

а) $9^{2x-1} = \sqrt{3};$

б) $5^{x+2} = 7;$

в) $15^{x^2-x} = 1;$

г) $13^{x^2-3} = 13.$

а) $9^{2x-1} = \sqrt{3}$

Для решения этого показательного уравнения приведем обе части к одному основанию. В данном случае это основание 3. Представим $9$ как $3^2$ и $\sqrt{3}$ как $3^{\frac{1}{2}}$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$(3^2)^{2x-1} = 3^{\frac{1}{2}}$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим левую часть:

$3^{2(2x-1)} = 3^{\frac{1}{2}}$

$3^{4x-2} = 3^{\frac{1}{2}}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$4x - 2 = \frac{1}{2}$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$4x = 2 + \frac{1}{2}$

$4x = \frac{5}{2}$

$x = \frac{5}{8}$

Ответ: $x = \frac{5}{8}$.

б) $5^{x+2} = 7$

Это показательное уравнение решается с помощью логарифмов, так как основания 5 и 7 нельзя привести к одному общему. Воспользуемся определением логарифма: если $a^y = b$, то $y = \log_a b$.

Применяя это определение к нашему уравнению, где $a=5$, $y=x+2$ и $b=7$, получаем:

$x+2 = \log_5 7$

Выразим $x$:

$x = \log_5 7 - 2$

Ответ: $x = \log_5 7 - 2$.

в) $15^{x^2-x} = 1$

Для решения этого уравнения представим правую часть с тем же основанием 15. Поскольку любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, имеем $1 = 15^0$.

Уравнение принимает вид: $15^{x^2-x} = 15^0$.

Так как основания равны, приравниваем показатели степеней:

$x^2 - x = 0$

Решим полученное квадратное уравнение, вынеся общий множитель $x$ за скобки:

$x(x-1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, $x_1 = 0$ или $x-1 = 0$, откуда $x_2 = 1$.

Ответ: $x_1 = 0; x_2 = 1$.

г) $13^{x^2-3} = 13$

В этом показательном уравнении основания в обеих частях уже равны. Представим правую часть $13$ как $13^1$.

Уравнение принимает вид: $13^{x^2-3} = 13^1$.

Поскольку основания равны, мы можем приравнять показатели степеней:

$x^2 - 3 = 1$

Решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 = 1 + 3$

$x^2 = 4$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения, получив два корня:

$x = \pm\sqrt{4}$

$x = \pm2$

Ответ: $x = \pm2$.