Номер 3.136, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.136. Решите неравенство $\frac{2}{x-4} \ge x - 3$ методом интервалов.

Для решения неравенства $\frac{2}{x-4} \ge x-3$ методом интервалов, необходимо перенести все его члены в одну часть и привести к общему знаменателю, чтобы получить неравенство вида $f(x) \ge 0$.

1. Перенесем правую часть налево:

$\frac{2}{x-4} - (x-3) \ge 0$

2. Приведем выражение в левой части к общему знаменателю $(x-4)$:

$\frac{2 - (x-3)(x-4)}{x-4} \ge 0$

3. Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$\frac{2 - (x^2 - 4x - 3x + 12)}{x-4} \ge 0$

$\frac{2 - (x^2 - 7x + 12)}{x-4} \ge 0$

$\frac{2 - x^2 + 7x - 12}{x-4} \ge 0$

$\frac{-x^2 + 7x - 10}{x-4} \ge 0$

4. Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\frac{x^2 - 7x + 10}{x-4} \le 0$

5. Теперь применим метод интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.

Нули числителя (точки, где дробь равна нулю):

$x^2 - 7x + 10 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$x_1 = 2$, $x_2 = 5$

Так как неравенство нестрогое ($\le$), эти точки (2 и 5) включаются в решение.

Нуль знаменателя (точка, где функция не определена):

$x - 4 = 0 \implies x = 4$

Эта точка (4) всегда исключается из решения (выкалывается на числовой оси).

6. Отметим найденные точки на числовой оси и определим знаки выражения $\frac{x^2 - 7x + 10}{x-4}$ на каждом из получившихся интервалов. Точки 2 и 5 будут закрашенными, а точка 4 — выколотой.

Получаем интервалы: $(-\infty; 2)$, $(2; 4)$, $(4; 5)$ и $(5; +\infty)$.

• Возьмем точку из интервала $(-\infty; 2)$, например $x=0$: $\frac{0^2 - 7 \cdot 0 + 10}{0-4} = \frac{10}{-4} < 0$. Знак «−».
• Возьмем точку из интервала $(2; 4)$, например $x=3$: $\frac{3^2 - 7 \cdot 3 + 10}{3-4} = \frac{9-21+10}{-1} = \frac{-2}{-1} > 0$. Знак «+».
• Возьмем точку из интервала $(4; 5)$, например $x=4.5$: $\frac{(4.5)^2 - 7 \cdot 4.5 + 10}{4.5-4} = \frac{20.25 - 31.5 + 10}{0.5} = \frac{-1.25}{0.5} < 0$. Знак «−».
• Возьмем точку из интервала $(5; +\infty)$, например $x=6$: $\frac{6^2 - 7 \cdot 6 + 10}{6-4} = \frac{36 - 42 + 10}{2} = \frac{4}{2} > 0$. Знак «+».

7. Нам нужно найти промежутки, где выражение $\frac{x^2 - 7x + 10}{x-4} \le 0$. Это те интервалы, где мы получили знак «−», включая концы интервалов, где числитель равен нулю.

Решением являются интервалы $(-\infty; 2]$ и $(4; 5]$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2] \cup (4, 5]$.