Номер 3.129, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.129. Запишите уравнение окружности, график которой изображен на рисунке 29. Какое уравнение имеет окружность, симметричная данной окружности относительно:

Уравнение окружности: $(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 9$

а) оси ординат;

б) оси абсцисс;

в) начала координат;

г) прямой $y = 4$;

д) прямой $x = 5$?

Рис. 29

Сначала запишем уравнение окружности, изображенной на рисунке. Стандартное уравнение окружности с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$.

Из рисунка видно, что центр окружности находится в точке $C(-3, -2)$.

Радиус окружности можно определить по рисунку, измерив расстояние от центра до любой точки на окружности. Например, от центра $(-3, -2)$ до точки $(1, -2)$ на окружности расстояние по оси $x$ составляет $1 - (-3) = 4$. Следовательно, радиус $R = 4$.

Таким образом, уравнение данной окружности: $(x - (-3))^2 + (y - (-2))^2 = 4^2$, или $(x + 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$.

Теперь найдем уравнения окружностей, симметричных данной относительно указанных осей и прямых. Радиус у всех симметричных окружностей будет таким же, $R=4$. Нам нужно лишь найти новые координаты центра.

a) оси ординат;

При симметрии относительно оси ординат (оси $Oy$) у точки меняется знак абсциссы ($x$), а ордината ($y$) остается прежней. Точка $(x_0, y_0)$ отображается в точку $(-x_0, y_0)$.

Центр исходной окружности $C(-3, -2)$ перейдет в новый центр $C_a(-(-3), -2) = (3, -2)$.

Уравнение симметричной окружности:

$(x - 3)^2 + (y - (-2))^2 = 4^2$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$.

б) оси абсцисс;

При симметрии относительно оси абсцисс (оси $Ox$) у точки меняется знак ординаты ($y$), а абсцисса ($x$) остается прежней. Точка $(x_0, y_0)$ отображается в точку $(x_0, -y_0)$.

Центр исходной окружности $C(-3, -2)$ перейдет в новый центр $C_б(-3, -(-2)) = (-3, 2)$.

Уравнение симметричной окружности:

$(x - (-3))^2 + (y - 2)^2 = 4^2$

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 16$.

в) начала координат;

При симметрии относительно начала координат $(0, 0)$ у точки меняются знаки обеих координат. Точка $(x_0, y_0)$ отображается в точку $(-x_0, -y_0)$.

Центр исходной окружности $C(-3, -2)$ перейдет в новый центр $C_в(-(-3), -(-2)) = (3, 2)$.

Уравнение симметричной окружности:

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 4^2$

$(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 16$

Ответ: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 16$.

г) прямой $y = 4$;

При симметрии относительно горизонтальной прямой $y = k$ точка $(x_0, y_0)$ отображается в точку $(x_0, 2k - y_0)$.

В нашем случае $k = 4$. Центр исходной окружности $C(-3, -2)$ перейдет в новый центр $C_г(-3, 2 \cdot 4 - (-2)) = (-3, 8 + 2) = (-3, 10)$.

Уравнение симметричной окружности:

$(x - (-3))^2 + (y - 10)^2 = 4^2$

$(x + 3)^2 + (y - 10)^2 = 16$

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 10)^2 = 16$.

д) прямой $x = 5$?

При симметрии относительно вертикальной прямой $x = h$ точка $(x_0, y_0)$ отображается в точку $(2h - x_0, y_0)$.

В нашем случае $h = 5$. Центр исходной окружности $C(-3, -2)$ перейдет в новый центр $C_д(2 \cdot 5 - (-3), -2) = (10 + 3, -2) = (13, -2)$.

Уравнение симметричной окружности:

$(x - 13)^2 + (y - (-2))^2 = 4^2$

$(x - 13)^2 + (y + 2)^2 = 16$

Ответ: $(x - 13)^2 + (y + 2)^2 = 16$.