Номер 3.130, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.130. Решите уравнение

$\frac{6}{x^2 - 4x + 3} - \frac{13 - 7x}{1 - x} = \frac{3}{x - 3}$

3.130. Решим данное уравнение:

$$ \frac{6}{x^2 - 4x + 3} - \frac{13 - 7x}{1 - x} = \frac{3}{x - 3} $$

Первым шагом найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Знаменатели дробей не должны равняться нулю.

$x^2 - 4x + 3 \neq 0$

$1 - x \neq 0 \implies x \neq 1$

$x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$

Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 3$. Для этого найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = 4$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = 3$. Отсюда корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$.

Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \neq 1$ и $x \neq 3$.

Теперь преобразуем уравнение. Учтем, что $1 - x = -(x - 1)$.

$$ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} - \frac{13 - 7x}{-(x - 1)} = \frac{3}{x - 3} $$

$$ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{13 - 7x}{x - 1} = \frac{3}{x - 3} $$

Приведем все дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x - 3)$. Для этого домножим вторую дробь на $(x - 3)$, а третью, находящуюся в правой части, на $(x - 1)$:

$$ \frac{6}{(x - 1)(x - 3)} + \frac{(13 - 7x)(x - 3)}{(x - 1)(x - 3)} = \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x - 3)} $$

Так как в ОДЗ $x \neq 1$ и $x \neq 3$, мы можем умножить обе части уравнения на общий знаменатель $(x - 1)(x - 3)$ и перейти к уравнению для числителей:

$$ 6 + (13 - 7x)(x - 3) = 3(x - 1) $$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$$ 6 + 13x - 39 - 7x^2 + 21x = 3x - 3 $$

$$ -7x^2 + 34x - 33 = 3x - 3 $$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$$ -7x^2 + 34x - 3x - 33 + 3 = 0 $$

$$ -7x^2 + 31x - 30 = 0 $$

Умножим уравнение на -1 для удобства вычислений:

$$ 7x^2 - 31x + 30 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$$ D = (-31)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 30 = 961 - 840 = 121 $$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$.

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 + 11}{2 \cdot 7} = \frac{42}{14} = 3 $$

$$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{31 - 11}{2 \cdot 7} = \frac{20}{14} = \frac{10}{7} $$

Последний шаг — проверка корней на соответствие ОДЗ ($x \neq 1, x \neq 3$).

Корень $x_1 = 3$ не входит в ОДЗ, так как он обращает знаменатель в ноль. Следовательно, это посторонний корень.

Корень $x_2 = \frac{10}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{10}{7}$.