Номер 3.134, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.134. Найдите абсциссы точек пересечения графиков функций:

а) $y = \sqrt{2x^2 - 3x - 10}$ и $y = x;$

б) $y = \sqrt{8 - 3x - x^2}$ и $y = -x - 2.$

а) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{2x^2 - 3x - 10}$ и $y = x$, необходимо приравнять их правые части:

$\sqrt{2x^2 - 3x - 10} = x$

Это иррациональное уравнение. Для его решения необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным. Также подкоренное выражение должно быть неотрицательным, но это условие будет выполнено автоматически после возведения в квадрат, так как подкоренное выражение станет равным $x^2$, а $x^2 \ge 0$.

Таким образом, данное уравнение равносильно следующей системе:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ (\sqrt{2x^2 - 3x - 10})^2 = x^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы, возведя обе части в квадрат:

$2x^2 - 3x - 10 = x^2$

Перенесем все члены в левую часть:

$2x^2 - x^2 - 3x - 10 = 0$

$x^2 - 3x - 10 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна 3, а их произведение равно -10. Корнями являются числа 5 и -2.

$x_1 = 5$

$x_2 = -2$

Теперь вернемся к системе и проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $x \ge 0$.

Корень $x_1 = 5$ удовлетворяет условию, так как $5 \ge 0$.

Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как $-2 \lt 0$. Следовательно, это посторонний корень.

Единственная абсцисса точки пересечения - это $x=5$.

Ответ: 5

б) Чтобы найти абсциссы точек пересечения графиков функций $y = \sqrt{8 - 3x - x^2}$ и $y = -x - 2$, приравняем их правые части:

$\sqrt{8 - 3x - x^2} = -x - 2$

Как и в предыдущем случае, решим это иррациональное уравнение. Оно равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, а квадрат левой части равен квадрату правой.

$\begin{cases} -x - 2 \ge 0 \\ 8 - 3x - x^2 = (-x - 2)^2 \end{cases}$

Сначала решим неравенство:

$-x \ge 2$

$x \le -2$

Теперь решим уравнение из системы:

$8 - 3x - x^2 = (-(x + 2))^2$

$8 - 3x - x^2 = (x + 2)^2$

$8 - 3x - x^2 = x^2 + 4x + 4$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = x^2 + x^2 + 4x + 3x + 4 - 8$

$2x^2 + 7x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4(2)(-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$

Найдем корни:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm 9}{4}$

$x_1 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$

$x_2 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

Проверим найденные корни на соответствие условию $x \le -2$.

Корень $x_1 = -4$ удовлетворяет условию, так как $-4 \le -2$.

Корень $x_2 = 0.5$ не удовлетворяет условию, так как $0.5 \not\le -2$. Следовательно, это посторонний корень.

Единственная абсцисса точки пересечения - это $x=-4$.

Ответ: -4