Номер 3.127, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.127. Найдите значение выражения:

а) $\log_6 48 - \log_6 4 + \log_6 3;$

б) $\log_2 \log_5 \sqrt[8]{5};$

в) $\log_{27}^2 \sqrt[5]{3};$

г) $(30 - 5^{1+\log_5 4}) \cdot \log_2 \sqrt{5} \cdot \log_5 4.$

а) Для решения выражения $ \log_{6} 48 - \log_{6} 4 + \log_{6} 3 $ воспользуемся свойствами логарифмов. Разность логарифмов с одинаковым основанием равна логарифму частного $ (\log_{a} b - \log_{a} c = \log_{a} \frac{b}{c}) $, а сумма логарифмов — логарифму произведения $ (\log_{a} b + \log_{a} c = \log_{a} (b \cdot c)) $.
Сгруппируем и применим свойства последовательно:
$ (\log_{6} 48 - \log_{6} 4) + \log_{6} 3 = \log_{6} \frac{48}{4} + \log_{6} 3 = \log_{6} 12 + \log_{6} 3 $
Теперь применим свойство суммы логарифмов:
$ \log_{6} 12 + \log_{6} 3 = \log_{6} (12 \cdot 3) = \log_{6} 36 $
Так как $ 6^2 = 36 $, то значение логарифма равно 2.
$ \log_{6} 36 = 2 $
Ответ: 2

б) В выражении $ \log_{2} \log_{5} \sqrt[8]{5} $ вычисления производятся "изнутри наружу". Сначала найдем значение внутреннего логарифма $ \log_{5} \sqrt[8]{5} $.
Представим корень в виде степени: $ \sqrt[8]{5} = 5^{\frac{1}{8}} $.
Подставим в логарифм: $ \log_{5} 5^{\frac{1}{8}} $.
По свойству логарифма степени $ \log_{a} b^p = p \log_{a} b $ и тому, что $ \log_{a} a = 1 $, получаем:
$ \log_{5} 5^{\frac{1}{8}} = \frac{1}{8} \log_{5} 5 = \frac{1}{8} \cdot 1 = \frac{1}{8} $.
Теперь подставим это значение во внешний логарифм:
$ \log_{2} \frac{1}{8} $
Представим $ \frac{1}{8} $ как степень с основанием 2: $ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $.
Тогда $ \log_{2} 2^{-3} = -3 $.
Ответ: -3

в) Выражение $ \log_{27}^2 \sqrt[5]{3} $ означает $ (\log_{27} \sqrt[5]{3})^2 $. Найдем сначала значение логарифма $ \log_{27} \sqrt[5]{3} $.
Для удобства приведем основание и аргумент логарифма к степеням одного числа — 3.
Основание: $ 27 = 3^3 $.
Аргумент: $ \sqrt[5]{3} = 3^{\frac{1}{5}} $.
Подставим в логарифм: $ \log_{3^3} 3^{\frac{1}{5}} $.
Используем свойство логарифма $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_{a} b $:
$ \log_{3^3} 3^{\frac{1}{5}} = \frac{1/5}{3} \log_{3} 3 = \frac{1}{15} \cdot 1 = \frac{1}{15} $.
Теперь возведем полученный результат в квадрат, как того требует исходное выражение:
$ (\frac{1}{15})^2 = \frac{1^2}{15^2} = \frac{1}{225} $.
Ответ: $ \frac{1}{225} $

г) Рассмотрим выражение $ (30 - 5^{1+\log_{5} 4}) \cdot \log_{2} \sqrt{5} \cdot \log_{5} 4 $ и решим его по частям.
1. Упростим выражение в скобках: $ (30 - 5^{1+\log_{5} 4}) $.
Используем свойство степени $ a^{m+n} = a^m \cdot a^n $:
$ 5^{1+\log_{5} 4} = 5^1 \cdot 5^{\log_{5} 4} $
По основному логарифмическому тождеству $ a^{\log_{a} b} = b $, имеем $ 5^{\log_{5} 4} = 4 $.
Значит, $ 5^1 \cdot 4 = 20 $.
Тогда выражение в скобках равно $ 30 - 20 = 10 $.
2. Упростим произведение логарифмов: $ \log_{2} \sqrt{5} \cdot \log_{5} 4 $.
Преобразуем каждый логарифм по свойству $ \log_{a} b^p = p \log_{a} b $:
$ \log_{2} \sqrt{5} = \log_{2} 5^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_{2} 5 $
$ \log_{5} 4 = \log_{5} 2^2 = 2 \log_{5} 2 $
Теперь перемножим их:
$ (\frac{1}{2} \log_{2} 5) \cdot (2 \log_{5} 2) = (\frac{1}{2} \cdot 2) \cdot (\log_{2} 5 \cdot \log_{5} 2) $
По свойству $ \log_{a} b \cdot \log_{b} a = 1 $, произведение $ \log_{2} 5 \cdot \log_{5} 2 = 1 $.
Получаем: $ 1 \cdot 1 = 1 $.
3. Перемножим результаты обеих частей:
$ 10 \cdot 1 = 10 $.
Ответ: 10