Номер 3.123, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.123*. Постройте график функции $y = 3^{\log_3 x}$.

Для построения графика функции $y = 3^{\log_3 x}$ проанализируем её.

1. Область определения функции.

В выражении функции присутствует логарифм $\log_3 x$. По определению логарифма, его аргумент должен быть строго больше нуля. Следовательно, мы должны удовлетворить условию:

$x > 0$

Таким образом, область определения функции (ОДЗ) есть интервал $(0; +\infty)$.

2. Упрощение функции.

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством, которое гласит: $a^{\log_a b} = b$ для всех $a > 0$, $a \neq 1$ и $b > 0$.

В нашем случае $a = 3$ и $b = x$. Поскольку из области определения мы знаем, что $x > 0$, мы можем применить это тождество:

$y = 3^{\log_3 x} = x$

3. Построение графика.

Мы получили, что на своей области определения ($x > 0$) исходная функция эквивалентна линейной функции $y = x$.

Графиком функции $y = x$ является прямая линия, проходящая через начало координат и являющаяся биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Однако, так как наша функция определена только для $x > 0$, мы должны построить только ту часть прямой $y = x$, которая лежит в первой координатной четверти.

Важным моментом является то, что $x$ не может быть равен нулю. Это означает, что точка $(0, 0)$ не принадлежит графику функции. На графике такая точка обозначается как "выколотая" (пустой кружок).

Итак, график функции $y = 3^{\log_3 x}$ — это луч, который начинается в точке $(0, 0)$ (не включая ее) и проходит через точки $(1, 1)$, $(2, 2)$, $(3, 3)$ и так далее, под углом 45° к оси абсцисс.

Ответ: Графиком функции $y = 3^{\log_3 x}$ является луч прямой $y=x$, расположенный в первой координатной четверти, с выколотой точкой в начале координат $(0, 0)$.