Номер 3.116, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.116. Используя свойства логарифмической функции, сравните с нулем значение выражения:

а) $ \log_4 8,3; $

б) $ \log_{\sqrt{7}} 0,45; $

в) $ \lg 0,5; $

г) $ \log_{0,8} 29; $

д) $ \log_{\frac{3}{7}} 0,9; $

е) $ \log_{0,3} 3. $

Для сравнения значения логарифма $ \log_a b $ с нулем, используется свойство монотонности логарифмической функции и тот факт, что $ \log_a 1 = 0 $ для любого основания $ a > 0, a \neq 1 $.

• Если основание $ a > 1 $, то логарифмическая функция $ y = \log_a x $ возрастает. Это значит, что если $ b > 1 $, то $ \log_a b > \log_a 1 = 0 $, а если $ 0 < b < 1 $, то $ \log_a b < \log_a 1 = 0 $.
• Если основание $ 0 < a < 1 $, то логарифмическая функция $ y = \log_a x $ убывает. Это значит, что если $ b > 1 $, то $ \log_a b < \log_a 1 = 0 $, а если $ 0 < b < 1 $, то $ \log_a b > \log_a 1 = 0 $.

а) $ \log_4 8,3 $

Основание логарифма $ a = 4 $. Так как $ a > 1 $, функция является возрастающей. Аргумент логарифма $ b = 8,3 $. Так как $ b > 1 $, значение логарифма будет больше нуля. Сравнение: $ 8,3 > 1 \implies \log_4 8,3 > \log_4 1 \implies \log_4 8,3 > 0 $.
Ответ: $ \log_4 8,3 > 0 $.

б) $ \log_{\sqrt{7}} 0,45 $

Основание логарифма $ a = \sqrt{7} $. Так как $ \sqrt{7} \approx 2,65 > 1 $, функция является возрастающей. Аргумент логарифма $ b = 0,45 $. Так как $ 0 < b < 1 $, значение логарифма будет меньше нуля. Сравнение: $ 0,45 < 1 \implies \log_{\sqrt{7}} 0,45 < \log_{\sqrt{7}} 1 \implies \log_{\sqrt{7}} 0,45 < 0 $.
Ответ: $ \log_{\sqrt{7}} 0,45 < 0 $.

в) $ \lg 0,5 $

$ \lg 0,5 $ — это десятичный логарифм, то есть $ \log_{10} 0,5 $. Основание $ a = 10 > 1 $, функция возрастающая. Аргумент $ b = 0,5 $. Так как $ 0 < b < 1 $, значение логарифма будет меньше нуля. Сравнение: $ 0,5 < 1 \implies \lg 0,5 < \lg 1 \implies \lg 0,5 < 0 $.
Ответ: $ \lg 0,5 < 0 $.

г) $ \log_{0,8} 29 $

Основание логарифма $ a = 0,8 $. Так как $ 0 < a < 1 $, функция является убывающей. Аргумент $ b = 29 $. Так как $ b > 1 $, значение логарифма будет меньше нуля. Сравнение: $ 29 > 1 \implies \log_{0,8} 29 < \log_{0,8} 1 \implies \log_{0,8} 29 < 0 $.
Ответ: $ \log_{0,8} 29 < 0 $.

д) $ \log_{\frac{3}{7}} 0,9 $

Основание логарифма $ a = \frac{3}{7} $. Так как $ 0 < a < 1 $, функция является убывающей. Аргумент $ b = 0,9 $. Так как $ 0 < b < 1 $, значение логарифма будет больше нуля. Сравнение: $ 0,9 < 1 \implies \log_{\frac{3}{7}} 0,9 > \log_{\frac{3}{7}} 1 \implies \log_{\frac{3}{7}} 0,9 > 0 $.
Ответ: $ \log_{\frac{3}{7}} 0,9 > 0 $.

е) $ \log_{0,5} 3 $

Основание логарифма $ a = 0,5 $. Так как $ 0 < a < 1 $, функция является убывающей. Аргумент $ b = 3 $. Так как $ b > 1 $, значение логарифма будет меньше нуля. Сравнение: $ 3 > 1 \implies \log_{0,5} 3 < \log_{0,5} 1 \implies \log_{0,5} 3 < 0 $.
Ответ: $ \log_{0,5} 3 < 0 $.