Номер 3.113, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.113. График функции $y = \log_a x$ проходит через точку $A(25; 4)$. Проходит ли этот график через точку:

а) $B(0,008; -6)$;

б) $C(125; 6)$?

По условию задачи, график функции $y = \log_a x$ проходит через точку A(25; 4). Это означает, что при $x = 25$ значение функции $y$ равно 4. Подставим эти значения в уравнение функции, чтобы найти основание логарифма $a$.

$4 = \log_a 25$

По определению логарифма, это равенство эквивалентно следующему:

$a^4 = 25$

Мы знаем, что $25 = 5^2$, тогда:

$a^4 = 5^2$

$(a^2)^2 = 5^2$

Отсюда следует, что $a^2 = 5$. Так как основание логарифма $a$ должно быть положительным ($a > 0$) и не равным единице ($a \ne 1$), то $a = \sqrt{5}$.

Таким образом, мы имеем дело с функцией $y = \log_{\sqrt{5}} x$. Теперь проверим, проходят ли точки B и C через график этой функции.

а) B(0,008; –6)

Чтобы проверить, принадлежит ли точка B графику, подставим её координаты $x = 0,008$ и $y = -6$ в уравнение функции $y = \log_{\sqrt{5}} x$. Нам нужно проверить истинность равенства:

$-6 = \log_{\sqrt{5}} 0,008$

Вычислим значение логарифма в правой части. Для этого представим 0,008 в виде дроби, а затем в виде степени числа 5.

$0,008 = \frac{8}{1000} = \frac{1}{125} = \frac{1}{5^3} = 5^{-3}$

Основание логарифма также представим в виде степени числа 5: $\sqrt{5} = 5^{1/2}$.

Теперь вычислим логарифм, используя свойство $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{\sqrt{5}} 0,008 = \log_{5^{1/2}} (5^{-3}) = \frac{-3}{1/2} \log_5 5 = -3 \cdot 2 \cdot 1 = -6$

Так как мы получили -6, что соответствует координате $y$ точки B, равенство $-6 = -6$ является верным. Следовательно, график функции проходит через точку B(0,008; –6).

Ответ: да, проходит.

б) C(125; 6)

Аналогично проверим точку C(125; 6). Подставим её координаты $x = 125$ и $y = 6$ в уравнение функции $y = \log_{\sqrt{5}} x$. Проверим равенство:

$6 = \log_{\sqrt{5}} 125$

Представим аргумент и основание логарифма в виде степеней числа 5:

$125 = 5^3$

$\sqrt{5} = 5^{1/2}$

Вычислим логарифм:

$\log_{\sqrt{5}} 125 = \log_{5^{1/2}} (5^3) = \frac{3}{1/2} \log_5 5 = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$

Мы получили 6, что соответствует координате $y$ точки C. Равенство $6 = 6$ является верным. Следовательно, график функции проходит через точку C(125; 6).

Ответ: да, проходит.