Номер 3.112, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.112. Принадлежит ли графику функции $y = \log_2 x$ точка:

a) A(32; 2);

б) B(0,125; -3);

в) C($16\sqrt{2}$; 4,5);

г) D($\frac{\sqrt{2}}{4}$; -1,5)?

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить её координаты ($x$ и $y$) в уравнение функции $y = \log_2 x$. Если в результате получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику, в противном случае — не принадлежит.

а) A(32; 2)

Подставляем координаты точки A в уравнение функции: $x = 32$, $y = 2$.

$2 = \log_2 32$

Чтобы проверить это равенство, вычислим значение логарифма. $\log_2 32$ — это степень, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить 32.

Поскольку $2^5 = 32$, то $\log_2 32 = 5$.

Получаем равенство $2 = 5$, которое является неверным.

Ответ: не принадлежит.

б) B(0,125; -3)

Подставляем координаты точки B в уравнение функции: $x = 0,125$, $y = -3$.

$-3 = \log_2 0,125$

Вычислим значение логарифма. Сначала представим десятичную дробь в виде обыкновенной, а затем в виде степени с основанием 2:

$0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

Тогда $\log_2 0,125 = \log_2(2^{-3}) = -3$.

Получаем равенство $-3 = -3$, которое является верным.

Ответ: принадлежит.

в) C($16\sqrt{2}$; 4,5)

Подставляем координаты точки C в уравнение функции: $x = 16\sqrt{2}$, $y = 4,5$.

$4,5 = \log_2 (16\sqrt{2})$

Вычислим значение логарифма. Представим выражение $16\sqrt{2}$ в виде степени с основанием 2:

$16\sqrt{2} = 2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{4 + \frac{1}{2}} = 2^{4,5}$

Тогда $\log_2 (16\sqrt{2}) = \log_2(2^{4,5}) = 4,5$.

Получаем равенство $4,5 = 4,5$, которое является верным.

Ответ: принадлежит.

г) D($\frac{\sqrt{2}}{4}$; -1,5)

Подставляем координаты точки D в уравнение функции: $x = \frac{\sqrt{2}}{4}$, $y = -1,5$.

$-1,5 = \log_2 \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)$

Вычислим значение логарифма. Представим выражение $\frac{\sqrt{2}}{4}$ в виде степени с основанием 2:

$\frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{2^{\frac{1}{2}}}{2^2} = 2^{\frac{1}{2} - 2} = 2^{-1,5}$

Тогда $\log_2 \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right) = \log_2(2^{-1,5}) = -1,5$.

Получаем равенство $-1,5 = -1,5$, которое является верным.

Ответ: принадлежит.