Номер 3.117, страница 127 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.117. В одной системе координат постройте графики функций:

а) $y = \log_{\frac{1}{3}} x;$

б) $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1);$

в) $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 2;$

г) $y = -\log_{\frac{1}{3}} x.$

Для решения задачи построим все графики в одной системе координат. В качестве основного графика возьмем график функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ и будем выполнять его преобразования для построения остальных.

Функция $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — это базовая логарифмическая функция.

Свойства и ключевые точки для построения:
1. Область определения: $x > 0$.
2. Вертикальная асимптота: $x = 0$ (ось $Oy$).
3. Функция убывающая, так как основание $a = \frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$.
4. Точки для построения:
- При $x = \frac{1}{3}$, $y = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3}) = 1$. Точка $(\frac{1}{3}, 1)$.
- При $x = 1$, $y = \log_{\frac{1}{3}} (1) = 0$. Точка $(1, 0)$.
- При $x = 3$, $y = \log_{\frac{1}{3}} (3) = -1$. Точка $(3, -1)$.
- При $x = 9$, $y = \log_{\frac{1}{3}} (9) = -2$. Точка $(9, -2)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ — это убывающая кривая, проходящая через точки $(\frac{1}{3}, 1)$, $(1, 0)$, $(3, -1)$, $(9, -2)$ и имеющая вертикальную асимптоту $x = 0$.

График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$ получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ сдвигом влево на 1 единицу по оси $Ox$.

Свойства и ключевые точки для построения:
1. Область определения: $x + 1 > 0 \implies x > -1$.
2. Вертикальная асимптота: $x = -1$.
3. Ключевые точки (получены сдвигом точек из пункта а) на 1 влево):
- Точка $(\frac{1}{3} - 1, 1) \implies (-\frac{2}{3}, 1)$.
- Точка $(1 - 1, 0) \implies (0, 0)$.
- Точка $(3 - 1, -1) \implies (2, -1)$.
- Точка $(9 - 1, -2) \implies (8, -2)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} (x + 1)$ — это убывающая кривая, полученная сдвигом графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ на 1 влево. График проходит через точки $(-\frac{2}{3}, 1)$, $(0, 0)$, $(2, -1)$, $(8, -2)$ и имеет вертикальную асимптоту $x = -1$.

График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 2$ получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ сдвигом вниз на 2 единицы по оси $Oy$.

Свойства и ключевые точки для построения:
1. Область определения: $x > 0$.
2. Вертикальная асимптота: $x = 0$.
3. Ключевые точки (получены сдвигом точек из пункта а) на 2 вниз):
- Точка $(\frac{1}{3}, 1 - 2) \implies (\frac{1}{3}, -1)$.
- Точка $(1, 0 - 2) \implies (1, -2)$.
- Точка $(3, -1 - 2) \implies (3, -3)$.
- Точка $(9, -2 - 2) \implies (9, -4)$.

Ответ: График функции $y = \log_{\frac{1}{3}} x - 2$ — это убывающая кривая, полученная сдвигом графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ на 2 вниз. График проходит через точки $(\frac{1}{3}, -1)$, $(1, -2)$, $(3, -3)$, $(9, -4)$ и имеет вертикальную асимптоту $x = 0$.

График функции $y = -\log_{\frac{1}{3}} x$ получается из графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ симметричным отражением относительно оси $Ox$.

Используя свойство логарифма, функцию можно переписать: $y = -\log_{\frac{1}{3}} x = \log_{(\frac{1}{3})^{-1}} x = \log_3 x$. Это логарифмическая функция с основанием $a=3$.

Свойства и ключевые точки для построения:
1. Область определения: $x > 0$.
2. Вертикальная асимптота: $x = 0$.
3. Функция возрастающая, так как основание $a = 3 > 1$.
4. Ключевые точки (получены отражением точек из пункта а) относительно оси $Ox$):
- Точка $(\frac{1}{3}, -1)$.
- Точка $(1, 0)$.
- Точка $(3, 1)$.
- Точка $(9, 2)$.

Ответ: График функции $y = -\log_{\frac{1}{3}} x$ — это возрастающая кривая (график $y=\log_3 x$), полученная отражением графика $y = \log_{\frac{1}{3}} x$ относительно оси $Ox$. График проходит через точки $(\frac{1}{3}, -1)$, $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$ и имеет вертикальную асимптоту $x = 0$.