Номер 3.122, страница 128 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.122*. Найдите множество значений функции $y = \log_{2}(x^{2} - 10x + 41)$.

Чтобы найти множество значений функции $y = \log_2(x^2 - 10x + 41)$, мы должны сначала найти множество значений подлогарифмического выражения $t(x) = x^2 - 10x + 41$.

Выражение $t(x) = x^2 - 10x + 41$ представляет собой квадратичную функцию, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (что больше нуля), ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{-10}{2 \cdot 1} = 5$.

Теперь найдем наименьшее значение функции $t(x)$, подставив в нее $x_0 = 5$:

$t_{min} = t(5) = 5^2 - 10 \cdot 5 + 41 = 25 - 50 + 41 = 16$.

Так как ветви параболы уходят в бесконечность, множество значений функции $t(x)$ — это промежуток $[16, +\infty)$.

Теперь вернемся к исходной функции $y = \log_2(t)$. Основание логарифма равно 2, что больше 1. Следовательно, функция $y = \log_2(t)$ является возрастающей. Это значит, что большему значению аргумента $t$ соответствует большее значение функции $y$.

Поскольку наименьшее значение аргумента $t$ равно 16, наименьшее значение функции $y$ будет:

$y_{min} = \log_2(16) = \log_2(2^4) = 4$.

Поскольку $t$ может принимать сколь угодно большие значения ($t \to +\infty$), значение $y = \log_2(t)$ также будет стремиться к $+\infty$.

Таким образом, множество значений функции $y = \log_2(x^2 - 10x + 41)$ — это все числа от 4 включительно до плюс бесконечности.

Ответ: $[4; +\infty)$.