Номер 3.108, страница 126 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.108*. Постройте график функции:

a) $y = \log_2 |x|;$

б) $y = |\log_2 x|;$

в) $y = \log_2 |x - 1|;$

г) $y = |\log_2 x - 1|.$

а) $y = \log_2|x|$

Построение графика функции $y = \log_2|x|$ выполняется на основе графика базовой логарифмической функции $y = \log_2 x$.

1. Строим график функции $y = \log_2 x$. Это стандартная логарифмическая функция с основанием 2. Она определена для всех $x > 0$, возрастает на всей области определения, проходит через точку $(1, 0)$ и имеет вертикальную асимптоту $x=0$ (ось $Oy$).

2. Функция $y = \log_2|x|$ является четной, так как $y(-x) = \log_2|-x| = \log_2|x| = y(x)$. Это означает, что её график симметричен относительно оси $Oy$.

3. Для получения искомого графика мы сначала строим график функции $y = \log_2 x$ для $x > 0$. Затем, используя свойство четности, отражаем построенную часть графика симметрично относительно оси $Oy$.

В результате график состоит из двух ветвей:

• При $x > 0$ он совпадает с графиком $y = \log_2 x$.
• При $x < 0$ он является зеркальным отражением первой ветви относительно оси $Oy$ и совпадает с графиком $y = \log_2(-x)$.

Область определения функции: $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \log_2|x|$ получается из графика $y = \log_2 x$ (построенного для $x > 0$) путем добавления его симметричного отражения относительно оси $Oy$.

б) $y = |\log_2 x|$

Построение графика функции $y = |\log_2 x|$ также выполняется на основе графика $y = \log_2 x$.

1. Сначала строим график функции $y = \log_2 x$. Область определения этой функции $x > 0$. График пересекает ось $Ox$ в точке $(1, 0)$. Для $x \in (0, 1)$ значения функции отрицательны ($y < 0$), а для $x > 1$ — положительны ($y > 0$).

2. Применение модуля ко всей функции, т.е. преобразование вида $y = |f(x)|$, означает, что все отрицательные значения функции становятся положительными. Геометрически это соответствует отражению части графика, которая лежит ниже оси $Ox$, симметрично относительно этой оси. Часть графика, лежащая выше или на оси $Ox$, остается без изменений.

3. Таким образом:

• Часть графика $y = \log_2 x$ при $x \ge 1$ (где $y \ge 0$) оставляем на месте.
• Часть графика $y = \log_2 x$ при $0 < x < 1$ (где $y < 0$) отражаем симметрично относительно оси $Ox$.

Полученный график полностью лежит в верхней полуплоскости ($y \ge 0$). Он имеет вертикальную асимптоту $x = 0$ и "касается" оси $Ox$ в точке $(1, 0)$.

Ответ: График функции $y = |\log_2 x|$ получается из графика $y = \log_2 x$ путем симметричного отражения его части, расположенной ниже оси $Ox$, относительно оси $Ox$.

в) $y = \log_2|x-1|$

График этой функции можно построить, используя график функции $y = \log_2|x|$, полученный в пункте а).

1. Вспомним, что график функции $y = \log_2|x|$ состоит из двух ветвей, симметричных относительно оси $Oy$, с вертикальной асимптотой $x = 0$.

2. Функция $y = \log_2|x-1|$ получается из функции $y = \log_2|x|$ заменой аргумента $x$ на $x-1$. Такое преобразование соответствует сдвигу исходного графика вдоль оси $Ox$ на 1 единицу вправо.

3. Таким образом, мы берем график $y = \log_2|x|$ и сдвигаем его целиком на 1 единицу вправо.

• Вертикальная асимптота $x=0$ смещается и становится прямой $x=1$.
• График становится симметричным относительно прямой $x=1$.
• Точки пересечения с осью $Ox$ находятся из уравнения $\log_2|x-1| = 0 \implies |x-1| = 2^0 = 1$. Отсюда $x-1 = 1$ или $x-1 = -1$, что дает $x=2$ и $x=0$.

Область определения: $|x-1| > 0$, то есть $x \ne 1$.

Ответ: График функции $y = \log_2|x-1|$ получается путем сдвига графика функции $y = \log_2|x|$ на 1 единицу вправо вдоль оси $Ox$.

г) $y = |\log_2 x - 1|$

Построение этого графика выполним в два последовательных шага.

1. Сначала построим вспомогательный график функции $y_1 = \log_2 x - 1$. Этот график получается из графика $y = \log_2 x$ путем сдвига на 1 единицу вниз вдоль оси $Oy$.

• Область определения остается $x > 0$.
• Вертикальная асимптота $x=0$ сохраняется.
• Точка пересечения с осью $Ox$ находится из условия $y_1=0$: $\log_2 x - 1 = 0 \implies \log_2 x = 1 \implies x = 2$. Таким образом, график проходит через точку $(2, 0)$.

2. Теперь построим искомый график $y = |y_1| = |\log_2 x - 1|$. Как и в пункте б), мы отражаем часть графика $y_1$, лежащую ниже оси $Ox$, симметрично относительно этой оси.

• График $y_1$ лежит ниже оси $Ox$ при условии $\log_2 x - 1 < 0$, то есть $\log_2 x < 1$, что верно для $0 < x < 2$.
• Следовательно, часть графика $y_1 = \log_2 x - 1$ на интервале $(0, 2)$ отражаем относительно оси $Ox$.
• Часть графика при $x \ge 2$, где $y_1 \ge 0$, оставляем без изменений.

Итоговый график расположен не ниже оси $Ox$, имеет вертикальную асимптоту $x=0$ и точку излома $(2, 0)$.

Ответ: График функции $y = |\log_2 x - 1|$ получается из графика $y = \log_2 x$ сдвигом на 1 единицу вниз с последующим симметричным отражением части, оказавшейся ниже оси $Ox$, относительно этой оси.