Номер 3.132, страница 129 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.132. Решите показательное уравнение:

а) $4^x = 8^{2x-3};$

б) $0,8^{2x-3} = 1;$

в) $(\frac{1}{15})^{3x^2+x-1.5} = \frac{\sqrt{15}}{15};$

г) $7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x+1} = 539;$

д) $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0.$

а) $4^x = 8^{2x-3}$

Приведем обе части уравнения к одному основанию, в данном случае к 2, так как $4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.

$(2^2)^x = (2^3)^{2x-3}$

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:

$2^{2x} = 2^{3(2x-3)}$

$2^{2x} = 2^{6x-9}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$2x = 6x - 9$

Решим полученное линейное уравнение:

$9 = 6x - 2x$

$9 = 4x$

$x = \frac{9}{4}$ или $x = 2.25$

Ответ: $x = \frac{9}{4}$.

б) $0.8^{2x-3} = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Представим 1 как $0.8^0$.

$0.8^{2x-3} = 0.8^0$

Теперь, когда основания равны, приравниваем показатели степеней:

$2x - 3 = 0$

Решаем линейное уравнение:

$2x = 3$

$x = \frac{3}{2}$ или $x = 1.5$

Ответ: $x = 1.5$.

в) $(\frac{1}{15})^{3x^2+x-1.5} = \frac{\sqrt{15}}{15}$

Приведем обе части уравнения к основанию 15. Для этого используем свойства $ \frac{1}{a} = a^{-1} $ и $ \sqrt{a} = a^{1/2} $.

Левая часть: $(\frac{1}{15})^{3x^2+x-1.5} = (15^{-1})^{3x^2+x-1.5} = 15^{-(3x^2+x-1.5)} = 15^{-3x^2-x+1.5}$

Правая часть: $\frac{\sqrt{15}}{15} = \frac{15^{0.5}}{15^1} = 15^{0.5-1} = 15^{-0.5}$

Теперь уравнение имеет вид:

$15^{-3x^2-x+1.5} = 15^{-0.5}$

Приравниваем показатели степеней:

$-3x^2 - x + 1.5 = -0.5$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-3x^2 - x + 1.5 + 0.5 = 0$

$-3x^2 - x + 2 = 0$

Умножим обе части на -1 для удобства:

$3x^2 + x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = 1^2 - 4(3)(-2) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

$x_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{-1 - 5}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

Ответ: $x_1 = \frac{2}{3}, x_2 = -1$.

г) $7^{x+2} + 4 \cdot 7^{x+1} = 539$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования левой части:

$7^x \cdot 7^2 + 4 \cdot (7^x \cdot 7^1) = 539$

$49 \cdot 7^x + 28 \cdot 7^x = 539$

Вынесем общий множитель $7^x$ за скобки:

$7^x(49 + 28) = 539$

$7^x \cdot 77 = 539$

Разделим обе части на 77:

$7^x = \frac{539}{77}$

$7^x = 7$

Так как $7 = 7^1$, получаем:

$x = 1$

Ответ: $x = 1$.

д) $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$

Заметим, что $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$. Это позволяет свести уравнение к квадратному. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Так как показательная функция $2^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

Подставим $t$ в уравнение:

$t^2 - 5t + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 5, произведение равно 4. Корни $t_1 = 1$ и $t_2 = 4$.

Оба корня удовлетворяют условию $t > 0$.

Теперь выполним обратную замену:

1. Если $t=1$, то $2^x = 1$. Отсюда $2^x = 2^0$, значит $x_1 = 0$.

2. Если $t=4$, то $2^x = 4$. Отсюда $2^x = 2^2$, значит $x_2 = 2$.

Ответ: $x_1 = 0, x_2 = 2$.