Номер 3.137, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.137. Решите уравнение $tg\left(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{7}\right) = -\sqrt{3}$. Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней данного уравнения.

Решите уравнение

Дано тригонометрическое уравнение:
$\tg(\frac{x}{3} - \frac{\pi}{7}) = -\sqrt{3}$
Общее решение для уравнения вида $\tg(A) = b$ имеет вид $A = \operatorname{arctg}(b) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
В нашем случае $A = \frac{x}{3} - \frac{\pi}{7}$ и $b = -\sqrt{3}$.
$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{7} = \operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) + \pi n$
Так как $\operatorname{arctg}(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, получаем:
$\frac{x}{3} - \frac{\pi}{7} = -\frac{\pi}{3} + \pi n$
Выразим $x$. Сначала изолируем слагаемое с $x$:
$\frac{x}{3} = \frac{\pi}{7} - \frac{\pi}{3} + \pi n$
Приведем дроби к общему знаменателю 21:
$\frac{x}{3} = \frac{3\pi - 7\pi}{21} + \pi n = -\frac{4\pi}{21} + \pi n$
Умножим обе части уравнения на 3:
$x = 3 \cdot \left(-\frac{4\pi}{21} + \pi n\right) = -\frac{12\pi}{21} + 3\pi n$
Сократив дробь, получаем общее решение уравнения:
$x = -\frac{4\pi}{7} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = -\frac{4\pi}{7} + 3\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней данного уравнения

Используя найденное общее решение $x = -\frac{4\pi}{7} + 3\pi n$, найдем требуемые корни.
1. Найдем наименьший положительный корень. Для этого корень должен удовлетворять условию $x > 0$:
$-\frac{4\pi}{7} + 3\pi n > 0$
$3\pi n > \frac{4\pi}{7}$
$n > \frac{4}{21}$
Наименьшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=1$.
Подставим $n=1$ в формулу для $x$, чтобы найти наименьший положительный корень:
$x_{1} = -\frac{4\pi}{7} + 3\pi \cdot 1 = \frac{-4\pi + 21\pi}{7} = \frac{17\pi}{7}$.

2. Найдем наибольший отрицательный корень. Для этого корень должен удовлетворять условию $x < 0$:
$-\frac{4\pi}{7} + 3\pi n < 0$
$3\pi n < \frac{4\pi}{7}$
$n < \frac{4}{21}$
Наибольшее целое число $n$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $n=0$.
Подставим $n=0$ в формулу для $x$, чтобы найти наибольший отрицательный корень:
$x_{2} = -\frac{4\pi}{7} + 3\pi \cdot 0 = -\frac{4\pi}{7}$.

3. Найдем сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней:
Сумма = $x_{1} + x_{2} = \frac{17\pi}{7} + \left(-\frac{4\pi}{7}\right) = \frac{17\pi - 4\pi}{7} = \frac{13\pi}{7}$.
Ответ: $\frac{13\pi}{7}$.