Номер 3.143, страница 130 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.143. Какие из данных уравнений не имеют корней:

a) $\sqrt{2 + x} = -4$;

б) $x^2 + 7 = 0$;

в) $7^x = -3$;

г) $\cos x = \sqrt{3}$?

а) Рассматриваем уравнение $\sqrt{2+x} = -4$.

По определению, арифметический квадратный корень (значение выражения $\sqrt{A}$) является неотрицательным числом, то есть $\sqrt{A} \ge 0$ для любой допустимой $A$.

В левой части данного уравнения стоит арифметический корень $\sqrt{2+x}$, значение которого должно быть неотрицательным. В правой части стоит число $-4$, которое является отрицательным.

Поскольку неотрицательное значение не может быть равно отрицательному числу, это уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет корней.

б) Рассматриваем уравнение $x^2 + 7 = 0$.

Перенесем число 7 в правую часть уравнения, изменив его знак: $x^2 = -7$.

Квадрат любого действительного числа $x$ является неотрицательным, то есть $x^2 \ge 0$.

В правой части уравнения находится отрицательное число $-7$.

Так как неотрицательное число не может равняться отрицательному, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: уравнение не имеет корней.

в) Рассматриваем уравнение $7^x = -3$.

Показательная функция $y = a^x$ с основанием $a > 0$ (в данном случае $a=7$) по своему определению принимает только строго положительные значения. То есть, $7^x > 0$ для любого действительного значения $x$.

В левой части уравнения стоит $7^x$, что всегда является положительным числом.

В правой части уравнения стоит отрицательное число $-3$.

Поскольку положительное число не может быть равно отрицательному, данное уравнение не имеет решений.

Ответ: уравнение не имеет корней.

г) Рассматриваем уравнение $\cos x = \sqrt{3}$.

Область значений функции косинуса, $y = \cos x$, представляет собой отрезок $[-1, 1]$. Это означает, что для любого действительного числа $x$ должно выполняться неравенство $-1 \le \cos x \le 1$.

Оценим значение, стоящее в правой части уравнения: $\sqrt{3}$. Поскольку $1^2=1$ и $2^2=4$, то $1 < \sqrt{3} < 2$. В частности, $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Так как $\sqrt{3} > 1$, это значение не принадлежит области значений функции косинус.

Следовательно, не существует такого действительного числа $x$, для которого $\cos x$ был бы равен $\sqrt{3}$.

Ответ: уравнение не имеет корней.