Номер 3.145, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.145. Найдите все корни уравнения:

a) $\log_{\frac{1}{3}} (x^2 + 8x) = -2;$

б) $\log_{0.5} (x^2 + 4x - 20) = 0;$

в) $\log_{2} (x^2 - 2x + 8) - 4 = 0;$

г) $\log_{4} (x^2 + 2x + 49) - 3 = 0.$

а) Исходное уравнение: $\log_{\frac{1}{3}}(x^2 + 8x) = -2$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что аргумент логарифма должен быть строго положительным: $x^2 + 8x > 0$.
Разложим на множители: $x(x+8) > 0$. Решая это неравенство методом интервалов, находим, что ОДЗ: $x \in (-\infty; -8) \cup (0; +\infty)$.
Теперь решим само уравнение. По определению логарифма $\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b$, получаем:
$x^2 + 8x = (\frac{1}{3})^{-2}$
$x^2 + 8x = 3^2$
$x^2 + 8x = 9$
Переносим все в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 8x - 9 = 0$
Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -8$, произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -9$. Подбором находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -9$.
Проверим, входят ли найденные корни в ОДЗ:
$x_1 = 1$ принадлежит интервалу $(0; +\infty)$, значит, это корень уравнения.
$x_2 = -9$ принадлежит интервалу $(-\infty; -8)$, значит, это тоже корень уравнения.
Ответ: $-9; 1$.

б) Исходное уравнение: $\log_{0,5}(x^2 + 4x - 20) = 0$.
ОДЗ: $x^2 + 4x - 20 > 0$.
По определению логарифма:
$x^2 + 4x - 20 = (0,5)^0$
$x^2 + 4x - 20 = 1$
$x^2 + 4x - 21 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -4$ и $x_1 \cdot x_2 = -21$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -7$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ. Для этого подставим их в выражение $x^2 + 4x - 20$ и проверим, будет ли оно положительным.
Для $x_1 = 3$: $3^2 + 4(3) - 20 = 9 + 12 - 20 = 1 > 0$. Корень подходит.
Для $x_2 = -7$: $(-7)^2 + 4(-7) - 20 = 49 - 28 - 20 = 1 > 0$. Корень подходит.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: $-7; 3$.

в) Исходное уравнение: $\log_2(x^2 - 2x + 8) - 4 = 0$.
Перенесем 4 в правую часть:
$\log_2(x^2 - 2x + 8) = 4$
ОДЗ: $x^2 - 2x + 8 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - 2x + 8$: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4 - 32 = -28$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), то парабола $y = x^2 - 2x + 8$ полностью лежит выше оси Ox, и, следовательно, выражение $x^2 - 2x + 8$ положительно при любых $x$. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.
По определению логарифма:
$x^2 - 2x + 8 = 2^4$
$x^2 - 2x + 8 = 16$
$x^2 - 2x - 8 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 2$ и $x_1 \cdot x_2 = -8$. Корни: $x_1 = 4$ и $x_2 = -2$.
Так как ОДЗ - все действительные числа, оба корня являются решениями.
Ответ: $-2; 4$.

г) Исходное уравнение: $\log_4(x^2 + 2x + 49) - 3 = 0$.
Перенесем 3 в правую часть:
$\log_4(x^2 + 2x + 49) = 3$
ОДЗ: $x^2 + 2x + 49 > 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 + 2x + 49$: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 4 - 196 = -192$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$), выражение $x^2 + 2x + 49$ положительно при любых $x$. ОДЗ: $x \in (-\infty; +\infty)$.
По определению логарифма:
$x^2 + 2x + 49 = 4^3$
$x^2 + 2x + 49 = 64$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = -2$ и $x_1 \cdot x_2 = -15$. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.
Так как ОДЗ - все действительные числа, оба корня являются решениями.
Ответ: $-5; 3$.