Номер вопрос 2, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

2. Если уравнение $f(x) = h(x)$ имеет два корня, то уравнение $lg f(x) = lg h(x)$:

а) имеет два корня;

б) может иметь только один корень;

в) не имеет корней;

г) может иметь больше двух корней.

Для решения задачи проанализируем связь между уравнениями $f(x) = h(x)$ и $\lg f(x) = \lg h(x)$.

Уравнение $\lg f(x) = \lg h(x)$ является логарифмическим. Оно определено только при условии, что аргументы логарифмов строго положительны. Таким образом, это уравнение равносильно системе:

$$\begin{cases}f(x) = h(x) \\f(x) > 0\end{cases}$$

Из этой системы видно, что корнями уравнения $\lg f(x) = \lg h(x)$ являются только те корни уравнения $f(x) = h(x)$, которые удовлетворяют дополнительному условию $f(x) > 0$.

По условию задачи, уравнение $f(x) = h(x)$ имеет два корня. Обозначим их $x_1$ и $x_2$. Чтобы определить, сколько корней будет у уравнения $\lg f(x) = \lg h(x)$, нужно проверить, для скольких из этих корней выполняется условие $f(x) > 0$.

Рассмотрим все возможные случаи:

1. Уравнение может иметь два корня. Это произойдет, если для обоих корней $x_1$ и $x_2$ выполняется условие $f(x) > 0$.
   Пример: Пусть $f(x) = x^2 + 1$ и $h(x) = 5$. Уравнение $f(x) = h(x)$ имеет вид $x^2 + 1 = 5$, откуда $x^2 = 4$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Проверим условие $f(x) > 0$ для этих корней: $f(2) = 2^2 + 1 = 5 > 0$. $f(-2) = (-2)^2 + 1 = 5 > 0$. Оба значения положительны, значит, уравнение $\lg(x^2+1) = \lg(5)$ имеет два корня.

2. Уравнение может иметь один корень. Это произойдет, если только один из корней (например, $x_1$) удовлетворяет условию $f(x_1) > 0$, а второй ($x_2$) — нет ($f(x_2) \le 0$).
   Пример: Пусть $f(x) = x$ и $h(x) = x^2 - 2$. Уравнение $f(x) = h(x)$ имеет вид $x = x^2 - 2$, или $x^2 - x - 2 = 0$. Его корни, найденные по теореме Виета или через дискриминант, равны $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Проверим условие $f(x) > 0$: $f(2) = 2 > 0$. $f(-1) = -1 < 0$. Только один корень ($x=2$) удовлетворяет условию, значит, уравнение $\lg x = \lg(x^2 - 2)$ имеет один корень.

3. Уравнение может не иметь корней. Это произойдет, если для обоих корней $x_1$ и $x_2$ условие $f(x) > 0$ не выполняется (т.е. $f(x_1) \le 0$ и $f(x_2) \le 0$).
   Пример: Пусть $f(x) = -x^2 - 2$ и $h(x) = -6$. Уравнение $f(x) = h(x)$ имеет вид $-x^2 - 2 = -6$, откуда $x^2 = 4$. Корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Проверим условие $f(x) > 0$: $f(2) = -(2^2) - 2 = -6 < 0$. $f(-2) = -(-2)^2 - 2 = -6 < 0$. Ни один из корней не удовлетворяет условию, значит, уравнение $\lg(-x^2-2) = \lg(-6)$ не имеет действительных корней.

Таким образом, уравнение $\lg f(x) = \lg h(x)$ может иметь 0, 1 или 2 корня. Оно не может иметь больше двух корней, так как все его корни должны быть и корнями исходного уравнения.

Теперь оценим предложенные варианты ответа:

а) имеет два корня; — Неверно. Это не всегда так, как показывают примеры 2 и 3.

б) может иметь только один корень; — Верно. Мы привели пример, когда это возможно.

в) не имеет корней; — Неверно. Это не всегда так, как показывают примеры 1 и 2.

г) может иметь больше двух корней. — Неверно. Число корней логарифмического уравнения не может превышать число корней исходного уравнения $f(x) = h(x)$.

Единственное истинное утверждение среди предложенных — это вариант (б).

Ответ: б) может иметь только один корень;