Номер 3.149, страница 139 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.149. Найдите все значения переменной, при которых равны значения выражений $log_4(x^3 + x^2 - 3x - 3)$ и $log_4(x^3 + 1)$.

Для того чтобы значения двух логарифмических выражений с одинаковым основанием были равны, необходимо, чтобы их аргументы (подалгоритмические выражения) были равны. Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ), согласно которой аргумент логарифма должен быть строго больше нуля.

Приравниваем аргументы логарифмов: $x^3 + x^2 - 3x - 3 = x^3 + 1$

Упростим полученное уравнение, вычитая $x^3$ из обеих частей: $x^2 - 3x - 3 = 1$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 - 3x - 3 - 1 = 0$ $x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна $-(-3) = 3$, а их произведение равно $-4$. Легко подобрать целые корни: $x_1 = 4$ $x_2 = -1$

Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни области допустимых значений (ОДЗ). ОДЗ определяется системой неравенств: $\{ x^3 + x^2 - 3x - 3 > 0, x^3 + 1 > 0 \}$

Поскольку мы приравняли аргументы, достаточно проверить выполнение только одного из этих неравенств для найденных корней. Выберем второе, более простое неравенство: $x^3 + 1 > 0$.

Проверка корня $x = 4$
Подставим значение в неравенство $x^3 + 1 > 0$: $4^3 + 1 = 64 + 1 = 65$
Так как $65 > 0$, неравенство выполняется, следовательно, $x = 4$ является решением.

Проверка корня $x = -1$
Подставим значение в неравенство $x^3 + 1 > 0$: $(-1)^3 + 1 = -1 + 1 = 0$
Неравенство $0 > 0$ является ложным. Следовательно, $x = -1$ не является решением, так как при этом значении аргумент логарифма обращается в ноль, и логарифм не определен.

Таким образом, единственным значением переменной, при котором равны значения данных выражений, является $x = 4$.

Ответ: 4