Номер 3.152, страница 140 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.152. Решите уравнение, используя метод замены переменной:

a) $\lg^2 x + \lg x - 2 = 0;$

б) $\log^2_3 x - 2\log_3 x = 3;$

В) $\log^2_5 x + \log_{0,2} x = 2;$

Г) $\log^2_5 x - \log_{\sqrt{5}} x - 3 = 0.$

а) $\lg^2 x + \lg x - 2 = 0$

Область допустимых значений (ОДЗ) уравнения определяется условием $x > 0$.

Введем замену переменной. Пусть $t = \lg x$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Следовательно, корни уравнения:

$t_1 = 1$

$t_2 = -2$

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 1$, то $\lg x = 1$. По определению десятичного логарифма, $x = 10^1 = 10$.

2) Если $t = -2$, то $\lg x = -2$. Отсюда $x = 10^{-2} = \frac{1}{100} = 0.01$.

Оба корня ($10$ и $0.01$) положительны, следовательно, удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $10; 0.01$.

б) $\log_3^2 x - 2\log_3 x = 3$

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

$\log_3^2 x - 2\log_3 x - 3 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Сделаем замену. Пусть $t = \log_3 x$. Уравнение превращается в квадратное:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 2, а произведение равно -3. Корни уравнения:

$t_1 = 3$

$t_2 = -1$

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 3$, то $\log_3 x = 3$. По определению логарифма, $x = 3^3 = 27$.

2) Если $t = -1$, то $\log_3 x = -1$. Отсюда $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Оба корня ($27$ и $\frac{1}{3}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $27; \frac{1}{3}$.

в) $\log_5^2 x + \log_{0.2} x = 2$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем логарифм с основанием $0.2$, приведя его к основанию $5$. Так как $0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$, то по свойству логарифма $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$ имеем:

$\log_{0.2} x = \log_{5^{-1}} x = \frac{1}{-1}\log_5 x = -\log_5 x$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\log_5^2 x - \log_5 x = 2$

$\log_5^2 x - \log_5 x - 2 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \log_5 x$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - t - 2 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 1, а произведение равно -2. Корни:

$t_1 = 2$

$t_2 = -1$

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 2$, то $\log_5 x = 2$, откуда $x = 5^2 = 25$.

2) Если $t = -1$, то $\log_5 x = -1$, откуда $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Оба корня ($25$ и $\frac{1}{5}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $25; \frac{1}{5}$.

г) $\log_5^2 x - \log_{\sqrt{5}} x - 3 = 0$

ОДЗ: $x > 0$.

Преобразуем логарифм с основанием $\sqrt{5}$, приведя его к основанию $5$. Так как $\sqrt{5} = 5^{1/2}$, то:

$\log_{\sqrt{5}} x = \log_{5^{1/2}} x = \frac{1}{1/2}\log_5 x = 2\log_5 x$

Подставим полученное выражение в уравнение:

$\log_5^2 x - 2\log_5 x - 3 = 0$

Сделаем замену. Пусть $t = \log_5 x$. Получаем квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 3 = 0$

Это уравнение аналогично уравнению из пункта б). Его корни:

$t_1 = 3$

$t_2 = -1$

Выполним обратную замену:

1) Если $t = 3$, то $\log_5 x = 3$, откуда $x = 5^3 = 125$.

2) Если $t = -1$, то $\log_5 x = -1$, откуда $x = 5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Оба корня ($125$ и $\frac{1}{5}$) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $125; \frac{1}{5}$.