Номер 3.162, страница 141 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.162. Решите систему уравнений:

$ \begin{cases} \log_6 (3x - y) = 2, \\ \log_{18} (6x + y) = 1; \end{cases} $

$ \begin{cases} \log_{0,2} (4x - 2y) = -1, \\ \log_2 (x + 2y) = 2; \end{cases} $

$ \begin{cases} \log_3 (x + y) = 4, \\ x - y = 85; \end{cases} $

$ \begin{cases} \log_2 x - 3y = 13, \\ 3\log_2 x + y = -1. \end{cases} $

а)Исходная система уравнений:$\begin{cases}\log_6(3x - y) = 2, \\\log_{18}(6x + y) = 1;\end{cases}$
Согласно определению логарифма, $\log_b a = c$ эквивалентно $a = b^c$. При этом должно выполняться условие, что аргумент логарифма положителен.
Область допустимых значений (ОДЗ): $3x - y > 0$ и $6x + y > 0$.
Преобразуем каждое уравнение системы:
1) $\log_6(3x - y) = 2 \implies 3x - y = 6^2 \implies 3x - y = 36$.
2) $\log_{18}(6x + y) = 1 \implies 6x + y = 18^1 \implies 6x + y = 18$.
Получаем систему линейных уравнений:$\begin{cases}3x - y = 36, \\6x + y = 18.\end{cases}$
Сложим первое и второе уравнения, чтобы исключить $y$:
$(3x - y) + (6x + y) = 36 + 18$
$9x = 54$
$x = \frac{54}{9} = 6$.
Теперь подставим найденное значение $x$ во второе уравнение $6x + y = 18$:
$6(6) + y = 18$
$36 + y = 18$
$y = 18 - 36 = -18$.
Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(6; -18)$ ОДЗ:
$3x - y = 3(6) - (-18) = 18 + 18 = 36 > 0$.
$6x + y = 6(6) + (-18) = 36 - 18 = 18 > 0$.
Оба условия выполнены.
Ответ: $(6; -18)$.

б)Исходная система уравнений:$\begin{cases}\log_{0,2}(4x - 2y) = -1, \\\log_2(x + 2y) = 2;\end{cases}$
ОДЗ: $4x - 2y > 0$ и $x + 2y > 0$.
Преобразуем каждое уравнение системы, используя определение логарифма:
1) $\log_{0,2}(4x - 2y) = -1 \implies 4x - 2y = (0,2)^{-1}$. Так как $0,2 = \frac{1}{5}$, то $(\frac{1}{5})^{-1} = 5$. Получаем $4x - 2y = 5$.
2) $\log_2(x + 2y) = 2 \implies x + 2y = 2^2 \implies x + 2y = 4$.
Получаем систему линейных уравнений:$\begin{cases}4x - 2y = 5, \\x + 2y = 4.\end{cases}$
Сложим уравнения системы:
$(4x - 2y) + (x + 2y) = 5 + 4$
$5x = 9$
$x = \frac{9}{5} = 1,8$.
Подставим значение $x$ во второе уравнение $x + 2y = 4$:
$\frac{9}{5} + 2y = 4$
$2y = 4 - \frac{9}{5}$
$2y = \frac{20}{5} - \frac{9}{5}$
$2y = \frac{11}{5}$
$y = \frac{11}{10} = 1,1$.
Проверим ОДЗ для решения $(\frac{9}{5}; \frac{11}{10})$:
$4x - 2y = 4(\frac{9}{5}) - 2(\frac{11}{10}) = \frac{36}{5} - \frac{11}{5} = \frac{25}{5} = 5 > 0$.
$x + 2y = \frac{9}{5} + 2(\frac{11}{10}) = \frac{9}{5} + \frac{11}{5} = \frac{20}{5} = 4 > 0$.
Условия ОДЗ выполнены.
Ответ: $(\frac{9}{5}; \frac{11}{10})$.

в)Исходная система уравнений:$\begin{cases}\log_3(x + y) = 4, \\x - y = 85;\end{cases}$
ОДЗ: $x + y > 0$.
Преобразуем первое уравнение системы:
$\log_3(x + y) = 4 \implies x + y = 3^4 \implies x + y = 81$.
Получаем систему линейных уравнений:$\begin{cases}x + y = 81, \\x - y = 85.\end{cases}$
Сложим уравнения системы:
$(x + y) + (x - y) = 81 + 85$
$2x = 166$
$x = 83$.
Подставим значение $x$ в первое уравнение $x + y = 81$:
$83 + y = 81$
$y = 81 - 83 = -2$.
Проверим ОДЗ для решения $(83; -2)$:
$x + y = 83 + (-2) = 81 > 0$.
Условие ОДЗ выполнено.
Ответ: $(83; -2)$.

г)Исходная система уравнений:$\begin{cases}\log_2 x - 3y = 13, \\3\log_2 x + y = -1.\end{cases}$
ОДЗ: $x > 0$.
Это система линейных уравнений относительно переменных $\log_2 x$ и $y$. Введем замену: пусть $a = \log_2 x$.
Система принимает вид:$\begin{cases}a - 3y = 13, \\3a + y = -1.\end{cases}$
Выразим $y$ из второго уравнения: $y = -1 - 3a$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$a - 3(-1 - 3a) = 13$
$a + 3 + 9a = 13$
$10a = 10$
$a = 1$.
Теперь найдем $y$:
$y = -1 - 3(1) = -4$.
Вернемся к исходной переменной $x$. Мы нашли, что $a = 1$, значит:
$\log_2 x = 1$
$x = 2^1 = 2$.
Проверим ОДЗ для решения $(2; -4)$:
$x = 2 > 0$.
Условие ОДЗ выполнено.
Ответ: $(2; -4)$.