Номер 3.84, страница 115 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.84. Исследуйте функцию $y = x^3 - 3x - 3$ и постройте ее график.

Проведем полное исследование функции $y = x^3 - 3x - 3$ по стандартному алгоритму.

1. Область определения функции

Функция является многочленом, поэтому она определена для всех действительных чисел.
Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

2. Четность и нечетность

Найдем значение функции для $-x$:
$y(-x) = (-x)^3 - 3(-x) - 3 = -x^3 + 3x - 3$.
Поскольку $y(-x) \neq y(x)$ и $y(-x) \neq -y(x) = -x^3 + 3x + 3$, функция не является ни четной, ни нечетной.
Ответ: Функция общего вида.

3. Точки пересечения с осями координат

- С осью OY: при $x=0$, $y = 0^3 - 3 \cdot 0 - 3 = -3$. Точка пересечения: $(0, -3)$.
- С осью OX: при $y=0$, получаем уравнение $x^3 - 3x - 3 = 0$. Данное уравнение не имеет целых корней. Исследование с помощью производной показывает, что локальный максимум $y(-1)=-1$ и локальный минимум $y(1)=-5$ оба отрицательны, следовательно, существует только один действительный корень. Так как $y(2) = 2^3 - 3(2) - 3 = -1$ и $y(3) = 3^3 - 3(3) - 3 = 15$, корень находится на интервале $(2, 3)$. Приблизительное значение $x \approx 2.1$.
Ответ: Пересечение с OY: $(0, -3)$. Пересечение с OX: точка с абсциссой $x \approx 2.1$.

4. Асимптоты

Вертикальных асимптот нет, так как функция непрерывна на всей числовой оси. Горизонтальные асимптоты отсутствуют, так как $\lim_{x \to \pm\infty} (x^3 - 3x - 3) = \pm\infty$. Наклонные асимптоты вида $y = kx+b$ также отсутствуют, так как $k = \lim_{x \to \infty} \frac{y(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} (x^2 - 3 - \frac{3}{x}) = \infty$.
Ответ: Асимптот нет.

5. Промежутки возрастания, убывания и экстремумы

Найдем первую производную: $y' = (x^3 - 3x - 3)' = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$.
Критические точки ($y'=0$): $x_1 = -1$, $x_2 = 1$.
Анализ знака производной:
- $x \in (-\infty, -1)$: $y' > 0$, функция возрастает.
- $x \in (-1, 1)$: $y' < 0$, функция убывает.
- $x \in (1, \infty)$: $y' > 0$, функция возрастает.
Точка $x = -1$ - точка локального максимума, $y_{max} = y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) - 3 = -1 + 3 - 3 = -1$.
Точка $x = 1$ - точка локального минимума, $y_{min} = y(1) = 1^3 - 3(1) - 3 = 1 - 3 - 3 = -5$.
Ответ: Функция возрастает на $(-\infty; -1]$ и $[1; +\infty)$, убывает на $[-1; 1]$. Точка максимума $(-1, -1)$, точка минимума $(1, -5)$.

6. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба

Найдем вторую производную: $y'' = (3x^2 - 3)' = 6x$.
Точка, подозрительная на перегиб ($y''=0$): $x = 0$.
Анализ знака второй производной:
- $x \in (-\infty, 0)$: $y'' < 0$, график выпуклый вверх.
- $x \in (0, \infty)$: $y'' > 0$, график выпуклый вниз (вогнутый).
Так как в точке $x=0$ вторая производная меняет знак, это точка перегиба. $y(0) = -3$.
Ответ: График выпуклый вверх на $(-\infty; 0]$ и выпуклый вниз на $[0; +\infty)$. Точка перегиба $(0, -3)$.

7. Построение графика

Для построения графика используем все полученные данные. Сведем их в таблицу:

Опорные точки для построения:
- Точка максимума: $(-1, -1)$
- Точка минимума: $(1, -5)$
- Точка перегиба (и пересечение с OY): $(0, -3)$
- Пересечение с OX: $(\approx 2.1, 0)$
Дополнительные точки для уточнения:
- $x = -2 \Rightarrow y = -5$, точка $(-2, -5)$.
- $x = 2 \Rightarrow y = -1$, точка $(2, -1)$.
График функции $y = x^3 - 3x - 3$:

Ответ: График функции построен на основе проведенного исследования. Это кубическая парабола с локальным максимумом в точке $(-1, -1)$, локальным минимумом в точке $(1, -5)$ и точкой перегиба в $(0, -3)$.