Номер 3.78, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.78. Найдите наибольшее значение функции $y = -x^2 + 12x - 5$.

Данная функция $y = -x^2 + 12x - 5$ является квадратичной. Её график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен -1. Так как он отрицательный ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение, которое достигается в вершине параболы.

Для нахождения этого значения можно использовать два основных способа.

Способ 1: Через координаты вершины параболы

Общая формула квадратичной функции: $y = ax^2 + bx + c$. Абсцисса (координата x) вершины параболы находится по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

В нашем случае, коэффициенты равны: $a = -1$, $b = 12$, $c = -5$.

Вычисляем абсциссу вершины: $x_0 = -\frac{12}{2 \cdot (-1)} = -\frac{12}{-2} = 6$.

Наибольшее значение функции — это ордината (координата y) вершины. Для её нахождения подставим $x_0 = 6$ в исходное уравнение функции: $y_{наиб} = y(6) = -(6)^2 + 12 \cdot (6) - 5 = -36 + 72 - 5 = 31$.

Способ 2: Методом выделения полного квадрата

Преобразуем исходное уравнение, чтобы выделить в нём полный квадрат:

$y = -x^2 + 12x - 5$

Вынесем коэффициент -1 за скобки для первых двух слагаемых: $y = -(x^2 - 12x) - 5$.

Чтобы выражение $x^2 - 12x$ дополнить до полного квадрата $(x-k)^2 = x^2 - 2kx + k^2$, нам нужно добавить $k^2 = (\frac{12}{2})^2 = 6^2 = 36$. Чтобы не изменить выражение, мы добавим и вычтем 36 внутри скобок: $y = -(x^2 - 12x + 36 - 36) - 5$.

Теперь свернём полный квадрат и упростим выражение: $y = -((x - 6)^2 - 36) - 5 = -(x - 6)^2 + 36 - 5 = -(x - 6)^2 + 31$.

Слагаемое $-(x - 6)^2$ всегда будет меньше или равно нулю, так как квадрат любого числа $(x-6)^2$ неотрицателен. Максимальное значение этого слагаемого равно 0 и достигается при $x = 6$.

Следовательно, максимальное значение всей функции $y$ равно $0 + 31 = 31$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 31