Номер 3.75, страница 114 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.75. Найдите $\sin \alpha$; $\cos \alpha$; $\operatorname{ctg} \alpha$, если $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{7}{24}$ и $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$.

По условию задачи, $\text{tg}\alpha = -\frac{7}{24}$ и угол $\alpha$ находится в интервале $\frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi$. Этот интервал соответствует IV четверти тригонометрической окружности. В IV четверти знаки тригонометрических функций следующие: синус отрицательный ($\sin\alpha < 0$), косинус положительный ($\cos\alpha > 0$) и котангенс отрицательный ($\text{ctg}\alpha < 0$).

ctgα

Воспользуемся определением котангенса как величины, обратной тангенсу: $\text{ctg}\alpha = \frac{1}{\text{tg}\alpha}$.
Подставим заданное значение $\text{tg}\alpha$:
$\text{ctg}\alpha = \frac{1}{-\frac{7}{24}} = -\frac{24}{7}$.
Ответ: $\text{ctg}\alpha = -\frac{24}{7}$.

cosα

Для нахождения косинуса используем тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и косинус: $1 + \text{tg}^2\alpha = \frac{1}{\cos^2\alpha}$.
Подставим значение $\text{tg}\alpha$:
$1 + \left(-\frac{7}{24}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$1 + \frac{49}{576} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$\frac{576 + 49}{576} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$\frac{625}{576} = \frac{1}{\cos^2\alpha}$
Выразим $\cos^2\alpha$:
$\cos^2\alpha = \frac{576}{625}$
Извлечем квадратный корень:
$\cos\alpha = \pm\sqrt{\frac{576}{625}} = \pm\frac{24}{25}$.
Так как угол $\alpha$ лежит в IV четверти, где косинус положителен, выбираем значение со знаком «+».
Ответ: $\cos\alpha = \frac{24}{25}$.

sinα

Для нахождения синуса воспользуемся определением тангенса $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, откуда $\sin\alpha = \text{tg}\alpha \cdot \cos\alpha$.
Подставим уже известные значения $\text{tg}\alpha$ и $\cos\alpha$:
$\sin\alpha = \left(-\frac{7}{24}\right) \cdot \left(\frac{24}{25}\right) = -\frac{7 \cdot 24}{24 \cdot 25} = -\frac{7}{25}$.
Полученное значение синуса отрицательно, что соответствует IV четверти.
Ответ: $\sin\alpha = -\frac{7}{25}$.