Номер 3.66, страница 113 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.66. Найдите значение выражения:

a) $ \cos(-225^\circ) \cdot \cot(-330^\circ) $;

б) $ \sqrt{3} \sin \frac{7\pi}{3} + \tan^2 \frac{9\pi}{4} $.

a) Найдем значение выражения $ \cos(-225^\circ) \cdot \ctg(-330^\circ) $.

Сначала преобразуем каждый множитель, используя свойства тригонометрических функций.

1. Функция косинус является четной, то есть $ \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) $. Поэтому:

$ \cos(-225^\circ) = \cos(225^\circ) $

Чтобы найти значение $ \cos(225^\circ) $, воспользуемся формулой приведения. Угол $ 225^\circ $ находится в III четверти.

$ \cos(225^\circ) = \cos(180^\circ + 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2} $

2. Функция котангенс является нечетной, то есть $ \ctg(-\alpha) = -\ctg(\alpha) $. Поэтому:

$ \ctg(-330^\circ) = -\ctg(330^\circ) $

Чтобы найти значение $ \ctg(330^\circ) $, воспользуемся формулой приведения. Угол $ 330^\circ $ находится в IV четверти.

$ \ctg(330^\circ) = \ctg(360^\circ - 30^\circ) = -\ctg(30^\circ) = -\sqrt{3} $

Следовательно:

$ \ctg(-330^\circ) = -(-\sqrt{3}) = \sqrt{3} $

3. Теперь перемножим полученные значения:

$ \cos(-225^\circ) \cdot \ctg(-330^\circ) = \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \sqrt{3} = -\frac{\sqrt{6}}{2} $

Ответ: $ -\frac{\sqrt{6}}{2} $

б) Найдем значение выражения $ \sqrt{3} \sin\frac{7\pi}{3} + \tg^2\frac{9\pi}{4} $.

Сначала упростим тригонометрические функции, используя их периодичность.

1. Для $ \sin\frac{7\pi}{3} $. Период функции синус равен $ 2\pi $.

Представим дробь $ \frac{7\pi}{3} $ в виде суммы целого числа оборотов и угла в пределах одного оборота:

$ \frac{7\pi}{3} = \frac{6\pi + \pi}{3} = \frac{6\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 2\pi + \frac{\pi}{3} $

Так как $ \sin(\alpha + 2\pi) = \sin(\alpha) $, то:

$ \sin\frac{7\pi}{3} = \sin\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

2. Для $ \tg^2\frac{9\pi}{4} $. Период функции тангенс равен $ \pi $. Сначала найдем $ \tg\frac{9\pi}{4} $.

Представим дробь $ \frac{9\pi}{4} $ в виде суммы:

$ \frac{9\pi}{4} = \frac{8\pi + \pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 2\pi + \frac{\pi}{4} $

Так как $ \tg(\alpha + 2\pi) = \tg(\alpha) $, то:

$ \tg\frac{9\pi}{4} = \tg\left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) = \tg\frac{\pi}{4} = 1 $

Теперь возведем результат в квадрат:

$ \tg^2\frac{9\pi}{4} = \left(\tg\frac{9\pi}{4}\right)^2 = 1^2 = 1 $

3. Подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \sqrt{3} \sin\frac{7\pi}{3} + \tg^2\frac{9\pi}{4} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 = \frac{3}{2} + 1 = \frac{3}{2} + \frac{2}{2} = \frac{5}{2} = 2.5 $

Ответ: $ 2.5 $