Номер 3.60, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.60. Выразите через $a$ и $b$ значение выражения $log_9 20$, если известно, что $lg2 = a$, $lg3 = b$.

Для того чтобы выразить $ \log_9 20 $ через $ a = \lg 2 $ и $ b = \lg 3 $, воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма. Перейдем к десятичному логарифму (с основанием 10), так как данные нам значения $a$ и $b$ выражены именно через него.

Формула перехода к новому основанию: $ \log_c x = \frac{\log_d x}{\log_d c} $.

Применим эту формулу к нашему выражению, выбрав в качестве нового основания $d=10$:

$ \log_9 20 = \frac{\lg 20}{\lg 9} $

Теперь преобразуем числитель и знаменатель дроби по отдельности, используя свойства логарифмов.

1. Преобразуем числитель $ \lg 20 $:

Представим число 20 в виде произведения $ 2 \cdot 10 $.

Используя свойство логарифма произведения ($ \lg(xy) = \lg x + \lg y $), получаем:

$ \lg 20 = \lg(2 \cdot 10) = \lg 2 + \lg 10 $

По условию $ \lg 2 = a $. По определению десятичного логарифма $ \lg 10 = \log_{10} 10 = 1 $.

Таким образом, числитель равен:

$ \lg 20 = a + 1 $

2. Преобразуем знаменатель $ \lg 9 $:

Представим число 9 в виде степени $ 3^2 $.

Используя свойство логарифма степени ($ \lg x^p = p \cdot \lg x $), получаем:

$ \lg 9 = \lg(3^2) = 2 \cdot \lg 3 $

По условию $ \lg 3 = b $.

Таким образом, знаменатель равен:

$ \lg 9 = 2b $

3. Собираем итоговое выражение:

Подставим полученные выражения для числителя и знаменателя в исходную формулу:

$ \log_9 20 = \frac{\lg 20}{\lg 9} = \frac{a + 1}{2b} $

Ответ: $ \frac{a + 1}{2b} $