Номер 3.53, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.53. Вычислите:

а) $\log_{3}(\log_{2} 48 + \log_{0,5} 6)$;

б) $\frac{\lg 27 + \lg 12}{\lg 2 + 2\lg 3}$.

а) $log_3(log_2 48 + log_{0,5} 6)$
Сначала упростим выражение, находящееся в скобках: $log_2 48 + log_{0,5} 6$.
Для этого приведем логарифмы к одному основанию. Заметим, что $0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
Используем свойство логарифма $log_{a^k} b = \frac{1}{k} log_a b$:
$log_{0,5} 6 = log_{2^{-1}} 6 = \frac{1}{-1} log_2 6 = -log_2 6$.
Подставим полученное выражение обратно в скобки:
$log_2 48 + log_{0,5} 6 = log_2 48 - log_2 6$.
Теперь используем свойство разности логарифмов $log_a x - log_a y = log_a(\frac{x}{y})$:
$log_2 48 - log_2 6 = log_2(\frac{48}{6}) = log_2 8$.
Вычислим значение $log_2 8$. Так как $2^3 = 8$, то $log_2 8 = 3$.
Теперь подставим этот результат в исходное выражение:
$log_3(3)$.
По определению логарифма, $log_a a = 1$, следовательно:
$log_3(3) = 1$.
Ответ: 1

б) $\frac{lg27 + lg12}{lg2 + 2lg3}$
Преобразуем числитель и знаменатель дроби, используя свойства логарифмов: $log_a(x^k) = k \cdot log_a x$ и $log_a(x \cdot y) = log_a x + log_a y$.
Рассмотрим числитель:
$lg27 + lg12 = lg(3^3) + lg(3 \cdot 4) = lg(3^3) + lg(3 \cdot 2^2)$.
Применим свойства суммы и степени логарифма:
$3lg3 + (lg3 + lg(2^2)) = 3lg3 + lg3 + 2lg2 = 4lg3 + 2lg2$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки:
$2(2lg3 + lg2)$.
Знаменатель дроби равен $lg2 + 2lg3$.
Теперь подставим преобразованный числитель в исходное выражение:
$\frac{2(2lg3 + lg2)}{lg2 + 2lg3}$.
Выражение в скобках в числителе $(2lg3 + lg2)$ и выражение в знаменателе $(lg2 + 2lg3)$ идентичны, так как от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Поэтому мы можем их сократить:
$\frac{2\cancel{(2lg3 + lg2)}}{\cancel{lg2 + 2lg3}} = 2$.
Ответ: 2