Номер 3.52, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.52. Найдите значение выражения:

a) $\log_6 9 + 2\log_6 2;$

б) $\log_{225} 3 + 3\log_{225} \sqrt[3]{5};$

в) $0,25\lg256 + 2\lg5;$

г) $2\log_{64} 56 - \frac{1}{3}\log_2 7.$

а) $\log_6 9 + 2\log_6 2$

Для решения используем свойства логарифмов. Сначала применим свойство степени логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$ ко второму слагаемому:

$2\log_6 2 = \log_6 2^2 = \log_6 4$

Теперь исходное выражение можно переписать в виде:

$\log_6 9 + \log_6 4$

Далее, используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$:

$\log_6 (9 \cdot 4) = \log_6 36$

Чтобы найти значение этого логарифма, нужно ответить на вопрос: в какую степень нужно возвести основание 6, чтобы получить 36? Так как $6^2 = 36$, то:

$\log_6 36 = 2$

Ответ: 2

б) $\log_{225} 3 + 3\log_{225} \sqrt[3]{5}$

Применим свойство степени логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$ ко второму слагаемому. Учтем, что $\sqrt[3]{5}$ это $5^{1/3}$:

$3\log_{225} \sqrt[3]{5} = \log_{225} (\sqrt[3]{5})^3 = \log_{225} 5$

Подставим полученное значение в исходное выражение:

$\log_{225} 3 + \log_{225} 5$

Теперь воспользуемся свойством суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$:

$\log_{225} (3 \cdot 5) = \log_{225} 15$

Для вычисления логарифма найдем степень $x$, для которой $225^x = 15$. Поскольку $\sqrt{225} = 15$, что эквивалентно $225^{1/2} = 15$, то $x = 1/2$.

$\log_{225} 15 = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $0,25\lg 256 + 2\lg 5$

Здесь $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10). Представим коэффициент 0,25 в виде обыкновенной дроби $1/4$. Выражение примет вид:

$\frac{1}{4}\lg 256 + 2\lg 5$

Применим свойство степени логарифма $n \cdot \log_a b = \log_a b^n$ к обоим слагаемым:

$\frac{1}{4}\lg 256 = \lg(256^{1/4}) = \lg(\sqrt[4]{256})$

$2\lg 5 = \lg(5^2) = \lg 25$

Вычислим значение $\sqrt[4]{256}$. Так как $4^4 = 256$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.

Теперь выражение можно записать как сумму логарифмов:

$\lg 4 + \lg 25$

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a x + \log_a y = \log_a (x \cdot y)$, получаем:

$\lg (4 \cdot 25) = \lg 100$

Так как $10^2 = 100$, то значение десятичного логарифма от 100 равно 2.

$\lg 100 = 2$

Ответ: 2

г) $2\log_{64} 56 - \frac{1}{3}\log_2 7$

В этом выражении логарифмы имеют разные основания: 64 и 2. Чтобы упростить выражение, приведем их к одному основанию. Удобно выбрать основание 2, так как $64 = 2^6$.

Используем формулу перехода к новому основанию $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ для первого члена:

$\log_{64} 56 = \frac{\log_2 56}{\log_2 64}$

Поскольку $64 = 2^6$, то $\log_2 64 = 6$. Следовательно:

$\log_{64} 56 = \frac{\log_2 56}{6}$

Подставим это в исходное выражение:

$2 \cdot \left(\frac{\log_2 56}{6}\right) - \frac{1}{3}\log_2 7 = \frac{1}{3}\log_2 56 - \frac{1}{3}\log_2 7$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{3}$ за скобки:

$\frac{1}{3}(\log_2 56 - \log_2 7)$

Применим свойство разности логарифмов $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$:

$\frac{1}{3} \log_2 \left(\frac{56}{7}\right) = \frac{1}{3} \log_2 8$

Так как $2^3 = 8$, то $\log_2 8 = 3$.

Окончательно получаем:

$\frac{1}{3} \cdot 3 = 1$

Ответ: 1