Номер 3.58, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.58. Вычислите:

а) $7^{\frac{1}{\log_3 7}}$;

б) $2^{\frac{\lg 11}{\lg 2}}$;

в) $3^{\frac{2}{\log_8 3}}$;

г) $6^{\frac{1}{2\log_5 6}}$;

д) $5^{\frac{\log_3 11}{\log_9 5}}$.

а)

Выражение в задании записано как $\frac{1}{7^{\log_3 7}}$. В контексте остальных примеров этого номера, где все ответы являются целыми числами или простыми корнями, можно предположить, что в условии допущена опечатка. Наиболее вероятный вид выражения, который поддается упрощению, это $7^{\frac{1}{\log_3 7}}$. Решим задачу для этого выражения.

Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$\frac{1}{\log_3 7} = \log_7 3$

Теперь подставим полученный показатель в выражение:

$7^{\frac{1}{\log_3 7}} = 7^{\log_7 3}$

Далее, применяя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем окончательный результат:

$7^{\log_7 3} = 3$

Ответ: 3

б)

Для вычисления выражения $2^{\frac{\lg 11}{\lg 2}}$ воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$. В данном выражении $\lg$ обозначает десятичный логарифм (логарифм по основанию 10).

Преобразуем показатель степени:

$\frac{\lg 11}{\lg 2} = \frac{\log_{10} 11}{\log_{10} 2} = \log_2 11$

Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$2^{\log_2 11}$

Согласно основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, результат равен:

$2^{\log_2 11} = 11$

Ответ: 11

в)

Рассмотрим выражение $3^{\frac{2}{\log_8 3}}$.

Сначала преобразуем показатель степени. Используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$, получим:

$\frac{2}{\log_8 3} = 2 \cdot \frac{1}{\log_8 3} = 2 \cdot \log_3 8$

Теперь используем свойство степени под знаком логарифма $n \log_a b = \log_a b^n$:

$2 \log_3 8 = \log_3 8^2 = \log_3 64$

Подставим преобразованный показатель в исходное выражение:

$3^{\log_3 64}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$3^{\log_3 64} = 64$

Ответ: 64

г)

Рассмотрим выражение $6^{\frac{1}{2\log_5 6}}$.

Преобразуем знаменатель в показателе степени, используя свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:

$2\log_5 6 = \log_5 6^2 = \log_5 36$

Теперь показатель степени имеет вид $\frac{1}{\log_5 36}$. Применим к нему свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$\frac{1}{\log_5 36} = \log_{36} 5$

Таким образом, исходное выражение принимает вид:

$6^{\log_{36} 5}$

Чтобы использовать основное логарифмическое тождество, приведем основание степени (6) и основание логарифма (36) к одному числу. Заметим, что $6 = 36^{1/2}$:

$6^{\log_{36} 5} = (36^{1/2})^{\log_{36} 5} = 36^{\frac{1}{2}\log_{36} 5}$

Используя снова свойство $n \log_a b = \log_a b^n$, получаем:

$36^{\log_{36} (5^{1/2})} = 36^{\log_{36} \sqrt{5}}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, итоговый результат:

$36^{\log_{36} \sqrt{5}} = \sqrt{5}$

Ответ: $\sqrt{5}$

д)

Рассмотрим выражение $5^{\frac{\log_3 11}{\log_9 5}}$.

Для упрощения показателя степени приведем логарифмы к одному основанию (в данном случае к основанию 3). Преобразуем знаменатель, используя свойство $\log_{a^k} b = \frac{1}{k}\log_a b$:

$\log_9 5 = \log_{3^2} 5 = \frac{1}{2}\log_3 5$

Теперь подставим это выражение в показатель степени:

$\frac{\log_3 11}{\log_9 5} = \frac{\log_3 11}{\frac{1}{2}\log_3 5} = 2 \cdot \frac{\log_3 11}{\log_3 5}$

Далее используем формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c b}{\log_c a} = \log_a b$:

$2 \cdot \frac{\log_3 11}{\log_3 5} = 2 \cdot \log_5 11$

Подставим полученный показатель в исходное выражение:

$5^{2 \log_5 11}$

Применим свойство $n \log_a b = \log_a b^n$:

$5^{\log_5 11^2} = 5^{\log_5 121}$

В итоге, по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, получаем:

$5^{\log_5 121} = 121$

Ответ: 121