Номер 3.62, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.62*. Вычислите: $ ((9 - \log_2^2 3) \cdot \log_{24} 2 + \log_2 3) \cdot 7^{\log_7 6} $

Для вычисления значения данного выражения, разобьем его на два множителя и упростим каждый по отдельности.

Исходное выражение: $ ((9 - \log_2^2 3) \cdot \log_{24} 2 + \log_2 3) \cdot 7^{\log_7 6} $.

Шаг 1: Упрощение второго множителя $7^{\log_7 6}$

Воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$.

Применив это тождество, получаем:

$7^{\log_7 6} = 6$.

Шаг 2: Упрощение первого множителя $((9 - \log_2^2 3) \cdot \log_{24} 2 + \log_2 3)$

Рассмотрим этот множитель по частям. Сначала преобразуем логарифм $\log_{24} 2$, используя формулу перехода к новому основанию $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$. Перейдем к основанию 2:

$\log_{24} 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 24} = \frac{1}{\log_2 24}$.

Теперь упростим знаменатель $\log_2 24$:

$\log_2 24 = \log_2 (8 \cdot 3) = \log_2 (2^3 \cdot 3)$.

Используя свойство логарифма произведения $\log_a(xy) = \log_a x + \log_a y$, получаем:

$\log_2 (2^3 \cdot 3) = \log_2 (2^3) + \log_2 3 = 3 \cdot \log_2 2 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3$.

Таким образом, $\log_{24} 2 = \frac{1}{3 + \log_2 3}$.

Теперь подставим это в выражение первого множителя:

$(9 - \log_2^2 3) \cdot \frac{1}{3 + \log_2 3} + \log_2 3$.

Заметим, что выражение $9 - \log_2^2 3$ является разностью квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a=3$ и $b=\log_2 3$:

$9 - \log_2^2 3 = (3 - \log_2 3)(3 + \log_2 3)$.

Подставим разложенное на множители выражение обратно:

$\frac{(3 - \log_2 3)(3 + \log_2 3)}{3 + \log_2 3} + \log_2 3$.

Сократим дробь на $(3 + \log_2 3)$:

$(3 - \log_2 3) + \log_2 3$.

Приведем подобные слагаемые:

$3 - \log_2 3 + \log_2 3 = 3$.

Итак, значение первого множителя равно 3.

Шаг 3: Конечное вычисление

Теперь перемножим значения двух упрощенных множителей. Произведение равно $3 \cdot 6 = 18$.

Ответ: 18