Номер 3.56, страница 112 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

$log_5 24$

3.56. Вычислите:

а) $log_4 5 \cdot log_5 4$;

б) $log_{27} 49 \cdot log_{\sqrt{7}} 81$;

в) $log_8 81 \cdot log_{\sqrt{3}} \sqrt[4]{2}$.

а) $\log_4 5 \cdot \log_5 4$

Для решения этого примера воспользуемся формулой перехода к новому основанию для логарифмов, которая в частном случае имеет вид: $\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$.

Применим эту формулу к одному из множителей, например, к $\log_4 5$:

$\log_4 5 = \frac{1}{\log_5 4}$

Теперь подставим это выражение в исходный пример:

$\log_4 5 \cdot \log_5 4 = \frac{1}{\log_5 4} \cdot \log_5 4$

Сократив $\log_5 4$, получаем:

$\frac{1}{\log_5 4} \cdot \log_5 4 = 1$

Ответ: 1

б) $\log_{27} 49 \cdot \log_{\sqrt{7}} 81$

Для решения преобразуем основания и аргументы логарифмов, представив их в виде степеней.
Основание первого логарифма: $27 = 3^3$. Аргумент: $49 = 7^2$.
Основание второго логарифма: $\sqrt{7} = 7^{\frac{1}{2}}$. Аргумент: $81 = 3^4$.

Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$.

Преобразуем первый множитель:

$\log_{27} 49 = \log_{3^3} 7^2 = \frac{2}{3} \log_3 7$

Преобразуем второй множитель:

$\log_{\sqrt{7}} 81 = \log_{7^{\frac{1}{2}}} 3^4 = \frac{4}{\frac{1}{2}} \log_7 3 = 8 \log_7 3$

Теперь перемножим полученные выражения:

$(\frac{2}{3} \log_3 7) \cdot (8 \log_7 3) = \frac{2}{3} \cdot 8 \cdot (\log_3 7 \cdot \log_7 3)$

Используем свойство $\log_a b \cdot \log_b a = 1$:

$\frac{16}{3} \cdot 1 = \frac{16}{3}$

Ответ: $\frac{16}{3}$

в) $\log_8 81 \cdot \log_{\sqrt{3}} \sqrt[4]{2}$

Как и в предыдущем примере, представим основания и аргументы логарифмов в виде степеней.

Для первого множителя: $8 = 2^3$ и $81 = 3^4$.

Для второго множителя: $\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ и $\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}$.

Применим свойство логарифма $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$.

Преобразуем первый множитель:

$\log_8 81 = \log_{2^3} 3^4 = \frac{4}{3} \log_2 3$

Преобразуем второй множитель:

$\log_{\sqrt{3}} \sqrt[4]{2} = \log_{3^{\frac{1}{2}}} 2^{\frac{1}{4}} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} \log_3 2 = \frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \log_3 2 = \frac{1}{2} \log_3 2$

Перемножим полученные выражения:

$(\frac{4}{3} \log_2 3) \cdot (\frac{1}{2} \log_3 2) = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot (\log_2 3 \cdot \log_3 2)$

Вычислим произведение чисел и воспользуемся свойством $\log_a b \cdot \log_b a = 1$:

$\frac{4}{6} \cdot 1 = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$