Номер 3.48, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.48. Вычислите, используя свойства логарифмов:

а) $\log_{32} 8;$

б) $\log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3};$

в) $\log_{\frac{1}{8}} \sqrt[5]{2};$

г) $\log_{81} \sqrt[7]{27};$

д) $\log_{0,04}^2 \sqrt[3]{5};$

е) $\log_{6\sqrt{6}} 36;$

ж) $\log_{125\sqrt{5}} \sqrt[3]{625}.$

а) $ \log_{32} 8 $

Для вычисления данного логарифма представим основание 32 и аргумент 8 в виде степеней одного и того же числа. Оба числа являются степенями 2:

$ 32 = 2^5 $

$ 8 = 2^3 $

Подставим эти значения в исходное выражение:

$ \log_{32} 8 = \log_{2^5} 2^3 $

Используем свойство логарифма $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{2^5} 2^3 = \frac{3}{5} \log_2 2 $

Так как $ \log_2 2 = 1 $, получаем:

$ \frac{3}{5} \cdot 1 = \frac{3}{5} $

Ответ: $ \frac{3}{5} $

б) $ \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3} $

Представим основание $ \sqrt{3} $ и аргумент $ \frac{1}{3} $ в виде степеней числа 3:

$ \sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}} $

$ \frac{1}{3} = 3^{-1} $

Подставим в логарифм:

$ \log_{\sqrt{3}} \frac{1}{3} = \log_{3^{1/2}} 3^{-1} $

Используя свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{3^{1/2}} 3^{-1} = \frac{-1}{1/2} \log_3 3 $

Упрощаем выражение:

$ \frac{-1}{1/2} \cdot 1 = -2 $

Ответ: $ -2 $

в) $ \log_{\frac{1}{8}} \sqrt[5]{2} $

Представим основание $ \frac{1}{8} $ и аргумент $ \sqrt[5]{2} $ в виде степеней числа 2:

$ \frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3} $

$ \sqrt[5]{2} = 2^{\frac{1}{5}} $

Подставляем в выражение:

$ \log_{\frac{1}{8}} \sqrt[5]{2} = \log_{2^{-3}} 2^{\frac{1}{5}} $

Применяем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{2^{-3}} 2^{\frac{1}{5}} = \frac{1/5}{-3} \log_2 2 $

Вычисляем значение:

$ \frac{1/5}{-3} \cdot 1 = -\frac{1}{15} $

Ответ: $ -\frac{1}{15} $

г) $ \log_{81} \sqrt[7]{27} $

Представим основание 81 и аргумент $ \sqrt[7]{27} $ как степени числа 3:

$ 81 = 3^4 $

$ \sqrt[7]{27} = \sqrt[7]{3^3} = 3^{\frac{3}{7}} $

Подставляем в логарифм:

$ \log_{81} \sqrt[7]{27} = \log_{3^4} 3^{\frac{3}{7}} $

Используем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{3^4} 3^{\frac{3}{7}} = \frac{3/7}{4} \log_3 3 $

Производим вычисления:

$ \frac{3/7}{4} \cdot 1 = \frac{3}{7 \cdot 4} = \frac{3}{28} $

Ответ: $ \frac{3}{28} $

д) $ \log^2_{0.04} \sqrt[3]{5} $

Сначала вычислим $ \log_{0.04} \sqrt[3]{5} $. Представим основание 0,04 и аргумент $ \sqrt[3]{5} $ как степени числа 5:

$ 0.04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 5^{-2} $

$ \sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}} $

Подставляем в логарифм:

$ \log_{0.04} \sqrt[3]{5} = \log_{5^{-2}} 5^{\frac{1}{3}} $

Применяем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{5^{-2}} 5^{\frac{1}{3}} = \frac{1/3}{-2} \log_5 5 = -\frac{1}{6} \cdot 1 = -\frac{1}{6} $

Теперь возведем полученное значение в квадрат:

$ \left( -\frac{1}{6} \right)^2 = \frac{1}{36} $

Ответ: $ \frac{1}{36} $

е) $ \log_{6\sqrt{6}} 36 $

Представим основание $ 6\sqrt{6} $ и аргумент 36 как степени числа 6:

$ 6\sqrt{6} = 6^1 \cdot 6^{\frac{1}{2}} = 6^{1+\frac{1}{2}} = 6^{\frac{3}{2}} $

$ 36 = 6^2 $

Подставляем в логарифм:

$ \log_{6\sqrt{6}} 36 = \log_{6^{3/2}} 6^2 $

Используем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{6^{3/2}} 6^2 = \frac{2}{3/2} \log_6 6 $

Вычисляем значение:

$ \frac{2}{3/2} \cdot 1 = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3} $

Ответ: $ \frac{4}{3} $

ж) $ \log_{125\sqrt{5}} \sqrt[3]{625} $

Представим основание $ 125\sqrt{5} $ и аргумент $ \sqrt[3]{625} $ как степени числа 5:

$ 125\sqrt{5} = 5^3 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{3+\frac{1}{2}} = 5^{\frac{7}{2}} $

$ \sqrt[3]{625} = \sqrt[3]{5^4} = 5^{\frac{4}{3}} $

Подставляем в логарифм:

$ \log_{125\sqrt{5}} \sqrt[3]{625} = \log_{5^{7/2}} 5^{\frac{4}{3}} $

Используем свойство $ \log_{a^k} b^m = \frac{m}{k} \log_a b $:

$ \log_{5^{7/2}} 5^{\frac{4}{3}} = \frac{4/3}{7/2} \log_5 5 $

Вычисляем значение:

$ \frac{4/3}{7/2} \cdot 1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{8}{21} $

Ответ: $ \frac{8}{21} $