Номер 3.43, страница 111 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.43. Найдите значение выражения:

a) $\frac{\log_2 14}{\log_2 7 + 1}$;

б) $\frac{\log_5^2 10 - \log_5^2 2}{\log_5 20}$.

а) Для решения данного выражения воспользуемся свойствами логарифмов.
Сначала преобразуем знаменатель дроби. Представим единицу в виде логарифма с основанием 2, используя основное логарифмическое свойство $\log_a a = 1$:
$1 = \log_2 2$
Теперь знаменатель выглядит так:
$\log_2 7 + 1 = \log_2 7 + \log_2 2$
Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_b x + \log_b y = \log_b(xy)$:
$\log_2 7 + \log_2 2 = \log_2(7 \cdot 2) = \log_2 14$
Теперь подставим полученное значение обратно в исходное выражение:
$\frac{\log_2 14}{\log_2 7 + 1} = \frac{\log_2 14}{\log_2 14} = 1$
Ответ: 1

б) Рассмотрим числитель дроби $\log_5^2 10 - \log_5^2 2$. Это выражение представляет собой разность квадратов вида $a^2 - b^2$, которую можно разложить на множители по формуле $(a-b)(a+b)$. В нашем случае $a = \log_5 10$ и $b = \log_5 2$.
$\log_5^2 10 - \log_5^2 2 = (\log_5 10 - \log_5 2)(\log_5 10 + \log_5 2)$
Теперь упростим каждую из скобок, используя свойства логарифмов.
Для первой скобки применим свойство разности логарифмов $\log_b x - \log_b y = \log_b(\frac{x}{y})$:
$\log_5 10 - \log_5 2 = \log_5(\frac{10}{2}) = \log_5 5 = 1$
Для второй скобки применим свойство суммы логарифмов $\log_b x + \log_b y = \log_b(xy)$:
$\log_5 10 + \log_5 2 = \log_5(10 \cdot 2) = \log_5 20$
Теперь перемножим полученные результаты, чтобы найти значение числителя:
$(\log_5 10 - \log_5 2)(\log_5 10 + \log_5 2) = 1 \cdot \log_5 20 = \log_5 20$
Подставим найденное значение числителя в исходную дробь:
$\frac{\log_5^2 10 - \log_5^2 2}{\log_5 20} = \frac{\log_5 20}{\log_5 20} = 1$
Ответ: 1