Номер 3.27, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.27. Вычислите, используя свойства логарифмов:

а) $ \log_8 2 + \frac{1}{\log_{32} 8}; $

б) $ \log_3 21 - \frac{1}{\log_{49} 9}; $

в) $ \left(\log_3 5 + \frac{1}{\log_2 3}\right) \cdot \lg 3; $

г) $ \left(\log_9 35 - \frac{1}{\log_5 9}\right) \cdot \log_7 9. $

а) $\log_8 2 + \frac{1}{\log_{32} 8}$

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами логарифмов.
Сначала преобразуем второе слагаемое, используя формулу замены основания логарифма $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:
$\frac{1}{\log_{32} 8} = \log_8 32$
Теперь исходное выражение принимает вид:
$\log_8 2 + \log_8 32$
Используем свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_c a + \log_c b = \log_c (a \cdot b)$:
$\log_8 2 + \log_8 32 = \log_8 (2 \cdot 32) = \log_8 64$
Чтобы вычислить $\log_8 64$, нужно найти степень, в которую нужно возвести 8, чтобы получить 64. Так как $8^2 = 64$, то:
$\log_8 64 = 2$
Ответ: 2

б) $\log_3 21 - \frac{1}{\log_{49} 9}$

Преобразуем вычитаемое, используя свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:
$\frac{1}{\log_{49} 9} = \log_9 49$
Выражение принимает вид:
$\log_3 21 - \log_9 49$
Приведем логарифмы к одному основанию 3. Для этого преобразуем второй логарифм:
$\log_9 49 = \log_{3^2} 7^2$
Используя свойство $\log_{b^k} a^m = \frac{m}{k} \log_b a$, получаем:
$\log_{3^2} 7^2 = \frac{2}{2} \log_3 7 = \log_3 7$
Теперь подставим это в наше выражение:
$\log_3 21 - \log_3 7$
Используем свойство разности логарифмов $\log_c a - \log_c b = \log_c (\frac{a}{b})$:
$\log_3 21 - \log_3 7 = \log_3 (\frac{21}{7}) = \log_3 3$
По определению логарифма, $\log_3 3 = 1$.
Ответ: 1

в) $(\log_3 5 + \frac{1}{\log_2 3}) \cdot \lg 3$

Сначала упростим выражение в скобках. Используем свойство $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$ для второго слагаемого:
$\frac{1}{\log_2 3} = \log_3 2$
Теперь выражение в скобках выглядит так:
$\log_3 5 + \log_3 2$
Применим свойство суммы логарифмов $\log_c a + \log_c b = \log_c (a \cdot b)$:
$\log_3 5 + \log_3 2 = \log_3 (5 \cdot 2) = \log_3 10$
Исходное выражение преобразуется к виду:
$\log_3 10 \cdot \lg 3$
Здесь $\lg 3$ — это десятичный логарифм, то есть $\log_{10} 3$.
Воспользуемся свойством $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$, которое также можно записать как $\log_a b \cdot \log_b a = 1$:
$\log_3 10 \cdot \log_{10} 3 = 1$
Ответ: 1

г) $(\log_9 35 - \frac{1}{\log_5 9}) \cdot \log_7 9$

Упростим выражение в скобках. Преобразуем вычитаемое с помощью свойства $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:
$\frac{1}{\log_5 9} = \log_9 5$
Теперь выражение в скобках имеет вид:
$\log_9 35 - \log_9 5$
Используем свойство разности логарифмов $\log_c a - \log_c b = \log_c (\frac{a}{b})$:
$\log_9 35 - \log_9 5 = \log_9 (\frac{35}{5}) = \log_9 7$
Подставим полученное значение в исходное выражение:
$\log_9 7 \cdot \log_7 9$
Воспользуемся свойством $\log_a b \cdot \log_b a = 1$:
$\log_9 7 \cdot \log_7 9 = 1$
Ответ: 1