Номер 3.25, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.25. Найдите значение выражения:

a) $4 \cdot \frac{\log_7 2}{\log_7 80} + \log_{80} 5;$

б) $\log_{25} 500 - \frac{\log_3 4}{\log_3 25}.$

а) $4 \cdot \frac{\log_7 2}{\log_7 80} + \log_{80} 5$

Для решения данного выражения воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Применим формулу перехода к новому основанию логарифма $\log_b a = \frac{\log_c a}{\log_c b}$ к дроби $\frac{\log_7 2}{\log_7 80}$. В данном случае основание $c=7$, число под логарифмом $a=2$, а новое основание $b=80$.

$\frac{\log_7 2}{\log_7 80} = \log_{80} 2$

2. Подставим полученное значение обратно в исходное выражение:

$4 \cdot \log_{80} 2 + \log_{80} 5$

3. Используем свойство степени логарифма $n \cdot \log_b a = \log_b a^n$ для первого слагаемого:

$4 \cdot \log_{80} 2 = \log_{80} 2^4 = \log_{80} 16$

4. Теперь выражение принимает вид:

$\log_{80} 16 + \log_{80} 5$

5. Применим свойство суммы логарифмов с одинаковым основанием $\log_b x + \log_b y = \log_b (x \cdot y)$:

$\log_{80} 16 + \log_{80} 5 = \log_{80} (16 \cdot 5) = \log_{80} 80$

6. Значение логарифма, у которого основание равно подлогарифмическому выражению, равно единице ($\log_b b = 1$):

$\log_{80} 80 = 1$

Ответ: 1

б) $\log_{25} 500 - \frac{\log_3 4}{\log_3 25}$

Для решения данного выражения также воспользуемся свойствами логарифмов.

1. Преобразуем дробь $\frac{\log_3 4}{\log_3 25}$, используя формулу перехода к новому основанию $\frac{\log_c a}{\log_c b} = \log_b a$. Здесь $c=3$, $a=4$, $b=25$.

$\frac{\log_3 4}{\log_3 25} = \log_{25} 4$

2. Подставим полученное выражение в исходное:

$\log_{25} 500 - \log_{25} 4$

3. Используем свойство разности логарифмов с одинаковым основанием $\log_b x - \log_b y = \log_b \left(\frac{x}{y}\right)$:

$\log_{25} 500 - \log_{25} 4 = \log_{25} \left(\frac{500}{4}\right) = \log_{25} 125$

4. Чтобы найти значение $\log_{25} 125$, представим основание 25 и число 125 в виде степеней одного и того же числа, в данном случае 5.

$25 = 5^2$

$125 = 5^3$

5. Подставим эти значения в логарифм:

$\log_{25} 125 = \log_{5^2} (5^3)$

6. Воспользуемся свойством логарифма $\log_{b^n} a^m = \frac{m}{n} \log_b a$:

$\log_{5^2} (5^3) = \frac{3}{2} \log_5 5$

7. Так как $\log_5 5 = 1$, получаем:

$\frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2} = 1.5$

Ответ: 1.5