Номер 3.29, страница 109 - гдз по алгебре 11 класс учебник Арефьева, Пирютко

3.29. Найдите значение выражения:

a) $3^{\frac{4}{\log_2 6}} \cdot 2^{\frac{4}{\log_2 6}}$;

б) $20^{\frac{1}{2\log_{81} 5}} \cdot (0,25)^{\frac{1}{2\log_{81} 5}}$.

а) $3^{\frac{4}{\log_2 6}} \cdot 2^{\frac{4}{\log_2 6}}$

Поскольку у обоих множителей одинаковые показатели степени, мы можем использовать свойство степеней $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$:

$3^{\frac{4}{\log_2 6}} \cdot 2^{\frac{4}{\log_2 6}} = (3 \cdot 2)^{\frac{4}{\log_2 6}} = 6^{\frac{4}{\log_2 6}}$

Теперь преобразуем показатель степени, используя свойство логарифмов $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, из которого следует, что $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{4}{\log_2 6} = 4 \cdot \frac{1}{\log_2 6} = 4 \log_6 2$

Подставим преобразованный показатель обратно в выражение:

$6^{4 \log_6 2}$

Используем свойство логарифмов $c \log_b a = \log_b a^c$:

$6^{4 \log_6 2} = 6^{\log_6 2^4} = 6^{\log_6 16}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$6^{\log_6 16} = 16$

Ответ: 16

б) $20^{\frac{1}{2\log_{81} 5}} \cdot (0,25)^{\frac{1}{2\log_{81} 5}}$

Как и в предыдущем примере, используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$. Представим $0,25$ в виде дроби $\frac{1}{4}$:

$20^{\frac{1}{2\log_{81} 5}} \cdot (0,25)^{\frac{1}{2\log_{81} 5}} = (20 \cdot 0,25)^{\frac{1}{2\log_{81} 5}} = (20 \cdot \frac{1}{4})^{\frac{1}{2\log_{81} 5}} = 5^{\frac{1}{2\log_{81} 5}}$

Преобразуем показатель степени, используя свойство $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$:

$\frac{1}{2\log_{81} 5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\log_{81} 5} = \frac{1}{2} \log_5 81$

Подставим преобразованный показатель в выражение:

$5^{\frac{1}{2} \log_5 81}$

Используем свойство логарифмов $c \log_b a = \log_b a^c$:

$5^{\frac{1}{2} \log_5 81} = 5^{\log_5 81^{\frac{1}{2}}} = 5^{\log_5 \sqrt{81}} = 5^{\log_5 9}$

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$:

$5^{\log_5 9} = 9$

Ответ: 9